Mavzu: Algebraning ta’rifi va misollar, morfizmlar, factor-algebra. Reja

Binomial koeffitsientlarning xossalari. Binomial koeffitsientlarning ba‟zi xossalarini keltiramiz. Bu xossalar bevosita gruppalashlarga oid bo„lib, tabiiyki, ular Paskal uchburchagining xossalarini ham ifodalaydi.

1. 
   xossa .
   

m1

C

C
n m
n
n  m m 1
( m  0,1,2,..., n  1 ) tenglik o‘rinlidir.

Haqiqatdan ham,

_Cm1
n _
Cm
n!

(m 1)!(n  m 1)! _

n!


m!(n  m)! _
(m 1)!(n  m 1)!

n
m!(n  m)!


_ m!(n  m  1)!(n  m) _ n  m _.

m!(m  1)(n  m  1)! m  1

Bu xossa binomial koeffitsientlar qatoridagi istalgan ketma-ket ikki elementning biri ma‟lum bo„lsa, boshqasini osonlik bilan hisoblash mumkinligini ko„rsatadi:

_Cm1 _ ^{n  m} _Cm _,


C^m 
m  1 _{Cm1 ,}

bu yerda

n
m  0,1,2,..., n  1 .
m  1 ^n
n n  m ⁿ

2. 
   xossa . Ixtiyoriy natural n son uchun barcha
   

^m m  0,n
) binomial

C

(

n
koeffitsientlar yig‘indisi
2ⁿ ga teng, ya’ni
C⁰  C¹  C²  ...  C^n1  Cⁿ  2ⁿ .

n n n n n

Bu tenglik Nyuton binomi formulasida a  b  1 deb olganda hosil bo„ladi.

3. 
   xossa . Toq o‘rinlarda turgan binomial koeffitsientlar yig‘indisi juft o‘rinlarda turgan binomial koeffitsientlar yig‘indisiga teng.
   

Haqiqatdan ham, Nyuton binomi formulasida a 1 va b  1 deb olganda

0  C⁰  C¹  C²  C³  ...  (1)ⁿ Cⁿ

n n n n n

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan xossadagi tasdiqning to„g„riligi kelib chiqadi.

2- va 3- xossalar asosida quyidagi xossani hosil qilamiz.

4. 
   xossa . n natural sondan oshmaydigan eng katta toq m son uchun
   

C¹  C³ ...  C^m  2^n1 tenglik hamda ⁿ sondan oshmaydigan eng katta juft ^m son uchun
n n n
C⁰  C² ...  C^m  2^n1 tenglik o‘rinlidir.
n n n

4. 
   xossa . Toq n son uchun
   

n1
n1 _1
n1 _1
n1 _2

C⁰  C¹  ...  C ²  C ² , C ²  C ²  ...  Cⁿ ,
n n n n n n n


juft n son uchun esa


n n n _1
C⁰  C¹  ...  C ² , C ²  C ²  ...  Cⁿ ,
n n n n n n


munosabatlar o‘rinlidir.

Haqiqatdan ham,
_{m } n  1
2
shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy natural n va m

sonlar uchun
n  m _{ 1}
m  1
tengsizlik o„rinlidir,
_{m } n  1
2
Bo’lganda esa
n  m _{ 1}
m  1

tengsizlikka ega bo„lamiz. Bu yerda
_Cm1 _ ^{n  m} _Cm
formulani (1- xossaga qarang)

ⁿ m  1 ⁿ
qo’llab, xossadagi barcha tengsizliklarni hosil qilamiz.

Agar n toq son bo„lsa,
_{n } n  1
_{m } n  1
2
butun son bo„lib,

n  m <sub>


2 </sub> 2n  n  1 _ n  1 _{ 1}
munosabat o„rinlidir. Demak,
_Cm1 _ ^{n  m} _Cm

m  1
n  1 _{ 1}
2
n  1  2


n  1
n  1
n1 _1


n1
ⁿ m  1 ⁿ

formuladan m 
2
bo„lganda C_n ²
 C_n ²
tenglik kelib chiqadi.

n
Binomial koeffitsientlarning 5- xossasi Paskal uchburchagining yuqorida keltirilgan xossalari tasdig’i bo’lib, unga ko’ra binomial koeffitsientlar oldin C⁰  1dan

n
 ⁿ 


C ^{ 2} ^ gacha⁶ o’sadi, keyin esa
Cⁿ  1gacha kamayadi hamda ⁿ toq bo„lganda binomial

n
koeffitsientlar qatorining o„rtasidagi ikkita hadi tengdir va n juft bo„lganda uning o„rtadasigi hadi eng katta va yagonadir.
Quyidagi 6–8- xossalar o’rinlidir.

4. 
   xossa . Cⁿ  Cⁿ
   

 ...  Cⁿ
_{ C}n1 _.

n n1
nk
nk 1

7- xossa . C⁰ 2  C¹ 2  ...  Cⁿ 2  Cⁿ .
n n n 2n


8- xossa . C⁰C^k  C¹C^k1 ...  C^kC⁰  C^k .

n m n m
n m nm

Oxirgi tenglik Koshi⁷ ayniyati deb aytiladi.

Endi bu uchta xossalarni isbotlaymiz. Dastlab 6- xossaning isbotini keltiramiz.
Birinchidan,


s  (1  x)ⁿ  (1  x)^n1  ...  (1  x)^nk

ko„phad uchun Nyuton binomi formulasini qo„llab, quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

n n1 n k

s  _C^mx^m  _C^m x^m  ...  _C^m
x^m .

n
m0


m0
n1


m0
n k

Bu yerdan, s ko„phaddagi xⁿ ifodaning koeffitsienti

Cⁿ  Cⁿ ...  Cⁿ

n

yig„indiga tengligini aniqlash mumkin.

n1
nk

Ikkinchidan,
s  (1 x)ⁿ (1 (1 x) ...  (1 x)^k )
ifodani geometrik progressiya hadlari

yig„indisi formulasiga binoan quyidagicha ham yozish mumkin:





^{6 [a]} yozuv a sonning butun qismini anglatadi.
⁷ Koshi (Cauchy Ogyusten Lui, 1789-1857) –fransuz matematigi.

s  (1
_n (1 x)^k1 1 _ 1 _

• 
  x)
  

nk 1 _
(1
x)ⁿ .

(1

x)
1 x 1 x

C
Bu yerda ham Nyuton binomi formulasini qo„llab, hosil bo„lgan ko„phadning xⁿ daraja

qatnashgan hadi koeffitsienti
n1 nk 1
ekanligini ko„rish mumkin. Keltirilgan bu

mulohazalar asosida 6- xossadagi tenglikka ega bo„lamiz.

Ravshanki,
_Cm _{ C}nm
formula e‟tiborga olinsa, 7- xossa 8- xossadan
m  k  n

n n
bo„lganda xususiy hol sifatida kelib chiqadi. Shuning uchun faqat 8- xossaning isbotini keltirish bilan chegaralanamiz.
Birinchidan, Nyuton binomi formulasiga ko„ra

(1  x)  _C x ,
n
n s s
n
s0
m

(1  x)  _C x ,
m t t
m
t0
nm

x

(1 x)  _C
nm p p
nm
p0

tengliklarga, bulardan esa
(1 x)ⁿ (1 x)^m  (1 x)^nm
bo„lgani uchun

n m nm

_C^s x^s _C^t x^t  _C ^p
x ^p tenglikka ega bo„lamiz. Oxirgi tenglikning ikkala tomonidagi

n
s0
m
t 0


p0
nm

x^k ( k  0,1,..., min(m, n) ) daraja koeffitsientlarini bir-biriga tenglashtirsak, isbotlanishi
kerak bo„lgan formulani hosil qilamiz.
Albatta, yuqoridagu uchta xossalar boshqa usullar bilan ham isbotlanishi mumkin. Quyida 8- xossaning kombinatorik tahlilga asoslangan isboti keltirilgan.

2.