Mavzu: Algebraning ta’rifi va misollar, morfizmlar, factor-algebra. Reja

m i s o l . Koshi ayniyatini kombinatorik tahlilga asoslangan holda isbotlaymiz.

ⁿ nafar o’g’il va ^m nafar qiz bolalardan tashkil topgan talabalar guruhidan k

C
( ^{k  0,1,..., min(m, n)} ) nafar talaba tanlash zarur bo„lsin. n  m nafar talabalardan k nafar

talabani
k nm
xil usul bilan tanlash mumkinligi ravshan.

Boshqa tomondan olib qaraganda,
n  m
nafar talabalardan iborat to„plamdan

^{tanlanadigan barcha} k ^{elementli qism to„plamlarni ularning tarkibidagi o„g„il bolalar} soniga qarab sinflarga ajratishning quyidagicha imkoniyati bor. Tarkibida ^s ( 0  s  k )

C

C

n
^{nafar o„g„il bola bo„lgan} k ^{elementli qism to„plamni oldin s xil usul bilan tanlab,}

keyin
(k  s)
nafar qiz bolalarni
k s m
xil usullardan birortasi yordamida tanlash mumkin.

Demak, tarkibida ^s nafar o„g„il bola bo„lgan k nafar talabadan iborat qism to„plamlar

soni, ko„paytirish qoidasiga asosan,
_Cs_Ck s
songa tengdir. Noldan k gacha bo„lgan

n m
barcha butun s sonlar uchun barcha kombinatsiyalarni hosil qilib va bu kombinatsiyalarga mos ko„paytmalarni yig„ib, Koshi ayniyatining chap tomonini hosil qilamiz.
Binomial koeffitsientlarning yuqorida keltirilgan xossalarini tahlil qilish natijasida ularning turli sohalardagi tadbiqlari doirasining kengligini payqash mumkin. Misol sifatida to„plamlamlar nazariyasiga tadbiqini qaraymiz.

2. 
   m i s o l . Chekli A to’plam 2^A buleanining elementlari va bu elementlar soni
   

bilan binomial koeffitsientlarning uzviy bog„lanishi bor. Bu bog„lanish quyidagicha
ifodalashi mumkin. Chekli A to’plam 2^A buleani tarkibidagi elementlar A to„plamning
qism to„plamlaridan iborat bo’lgani uchun, shu qism to„plamlarni quvvatlari bo„yicha ^{( | A | 1 )ta guruhlarga ajratish mumkin. Tushunarliki, bu yerda} k ^{raqamli guruh (} k  0,| A | ^{) quvvati} k ^{ga teng bo„lgan barcha qism to„plamlardan tashkil topadi va undagi}

C

n
qism to„plamlar soni ^k ga teng. Bu mulohazani hisobga olgan holda 2- xossa
yordamida ushbu bobning 1- paragrafidagi 1- teoremaning boshqa bir isbotiga ega bo’lamiz.
Binomial koeffitsientlarning yana bir xossasi ushbu bobning 7- paragrafda isbotlanadi.


3.Hosil qiluvchi funksiyalarning ta’rifi. Hosil qiluvchi funksiyalarning ta’rifi uchun zarur bo‘lgan ayrim tushunchalarni matematik analiz kursidan keltiramiz. Quyidagi chekli sonlarning cheksiz ketma-ketligi berilgan bo‘lsin:

u₁ , u₂ ,..., u_n ,... .

Shu ketma-ketlik yordamida tuzilgan


u₁ u₂ ... u_n ...u_k
k1

ifoda sonli cheksiz qator yoki, qisqacha, qator deb, u₁ , u₂ ,..., u_n ,... chekli sonlar esa qatorning hadlari deb ataladi. s_n u₁ u₂ ... u_n yig‘indiga qatorning xususiy

yig‘indisi deyiladi.
Agar qatorning xususiy yig‘indilaridan tuzilgan s₁, s₂ ,..., s_n ,... ketma-ketlik

chekli limitga ega bo‘lsa, u holda qator yaqinlashuvchi va bu limitning qiymati yaqinlashuvchi qator yig‘indisi deb ataladi.

Agar xususiy yig‘indilar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lmasa, u holda qator uzoqlashuvchi deyiladi.

Yuqorida keltirilgan sonli cheksiz qator tushunchasida qatorning hadlari sonlar emas, balki qandaydir x o‘zgaruvchiga bog‘liq chekli

qiymatlar qabul qiluvchi u₁ (x),u₂ (x),...,u_n (x),... funksiyalardan iborat bo‘lsa, u holda bu funksiyalarning cheksiz yig‘indisini ifodalovchi

u₁ (x) u₂ (x) ... u_n (x) ...u_k (x)
k1

funksional qator tushunchasiga ega bo‘lamiz.
Amaliy masalalarni hal qilishda funksional qatorlar sinfiga tegishli bo‘lgan darajali qatorlar muhim ahamiyatga ega. Darajali qator

a₀ a₁x a₂ x² ... a_n xⁿ ...a_k x^k
k1

ko‘rinishga ega bo‘lgan funksional qatordan iboratdir, bu yerda a₀ , a₁ , a₂ ,..., a_n ,...

berilgan chekli o‘zgarmas koeffitsientlarni, x esa qator o‘zgaruvchisini ifodalaydi. Tushunarliki, o‘zgaruvchisi nolga teng bo‘lgan har qanday darajali qator yaqinlashuvchidir. Odatda darajali qator o‘zgaruvchining ba’zi qiymatlarida yaqinlashuvchi, boshqalarida esa uzoqlashuvchi bo‘ladi. Ammo, shunday darajali qatorlar borki, ular o‘zgaruvchi qanday qiymatga ega bo‘lishidan qat’iy nazar yaqinlashuvchi yoki o‘zgaruvchining noldan boshqa barcha qiymatlarida

uzoqlashuvchi bo‘ladi.

Kombinatorikada qator tushunchasi kombinatorik ob’yektlar tufayli vujudga kelgan ketma-ketliklar bilan ishlash uchun kerakli qurol sifatida qo‘llaniladi. Masalan, agar bo‘laklash masalasi qaralayotgan bo‘lsa, bunday sonlar ketma-ketligining elementlari qilib n natural sonni qo‘shiluvchilar yig‘indisi sifatida bo‘laklashlar soni R(n) ni olish mumkin.
Agar darajali qator vositasida chekli sonlarning cheksiz
ketma-ketligiga haqiqiy yoki kompleks o‘zgaruvchili qandaydir funksiya mos

qo‘yilishi	mumkin bo‘lsa, u holda ketma-ketliklar ustida bajariladigan ba’zi
amallarni ularga mos funksiyalar ustida bajarish imkoniyati paydo bo‘ladi.
Darajali qator yig‘indisini ifodalovchi
		
		f (x)ak x^k
		k0
funksiya a0 , a1 , a2 ,..., an ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi deb ataladi.
Bu	yerda	f (x) funksiyani aniqlovchi qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishi
uchun x	o‘zgaruvchining haqiqiy yoki kompleks qiymatli bo‘lishi muhim
ahamiyatga ega emas.
		
Matematik analiz kursidan ma’lumki, agar f (x)ak xk			darajali qator x			 0
		k0
nuqtaning qandaydir atrofida yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda a				f ^(^k ^) (0)	( k 0,1,2,...
		k		k!
) formula	o‘rinli	bo‘ladi, bu yerda f ^(^k ^) (0) ifoda f (x) funksiyadan			olingan	k -
tartibli hosilasining x 0 nuqtadagi qiymatidir.

1-misol. Hadlari faqat birlardan iborat bo‘lgan 1,1,...,1,... sonlar ketma-

ketligining hosil qiluvchi funksiyasi f (x)		1		ko‘rinishga ega bo‘ladi.
		 x
1

Haqiqatdan ham, 1,1,...,1,... sonlar ketma-ketligiga

1 x x² ... xⁿ ...

darajali qator mos keladi va bu darajali qatorning hadlari maxraji x ga teng bo‘lgan

1, x, x² ,..., xⁿ ,...

ko‘rinishdagi geometrik progressiyadan iboratdir. Elementar matematika kursidan

ma’lumki, bu progressiya bo‘lganda cheksiz kamayuvchi geometrik

progressiya bo‘ladi va uning barcha hadlari yig‘indisi
1 x x² ... xⁿ ... ₁_¹ _x

formula bilan ifodalanadi.

2-misol. 1-misoldagidek mulohaza yuritib har qanday chekli a songa mos keluvchi 1, a, a² ,..., aⁿ ,... sonlar ketma-ketligining hosil qiluvchi funksiyasi

f (x)		1	ko‘rinishda bo‘lishini aniqlash mumkin.
		 ax
1