Mavzu: Algebraning ta`rifi va misollar, morfizmlar, factor-algebra

Kongruyensiya. Faktor – algebra
Agar ekvivalentlik munosabati uchun istalgan n , ixtiyoriy n o’rinli simvol uchun, ixtiyoriy majmualar uchun bajariladigan bajarilishidan kelib chiqsa, ekvivalent munosabatga algebrada kongruensiya deb ataladi.
Bu barcha amallarni ekvivalentlik munosabati bilan moslanganligini bildiradi.
Masalan, qo’shish amali uchun quyidagicha ifodalanadi: Istalgan elementlar uchun, ixtiyoriy a+b element sinfga tegishli bo’ladi.
A to’plamning konguensiyasi bo’yicha faktor to’plamini qaraymiz:

bu to’plamda ∑ signaturali algebrani aniqlaymiz. A algebraning konstanti C ga elementni mos qo’yamiz, bu element to’plamda constant simvol C ga mos keladi. Agar f n-o’rinli ∑ dagi simvol bo’lsa, u holda to’plamda f funksiyani quyidagi qoida bo’yicha aniqlaymiz:


Ixtiyoriy elementlar uchun bu ta’rifni korrektligi ya’ni ekvivalentlik sinfidagi qaysi element olinganiga bog’liq emasligiga ishonch hosil qilamiz. Haqiqatdan ham, agar bo’lsa, u holda bo’ladi, bundan kongruentlik xossasiga ko’ra ya’ni
bajariladi.
Bunday hosil qilingan algebraga U algebraning konguensiya
bo’yicha faktor algebrasi deb ataladi.
elementga sinfni mos qo’yuvchi akslantirish U algebra va algebradagi epimorfizm bo’ladi. Bu epimorfizmga tabiiy gomomorfizm deb ataladi.
Agar gomomorfizm bo’lsa, u holda Ker to’plam U algebrada kongruensiya bo’ladi, bu to’plamni gomomorfizmning yadrosi deb ataladi.
Algebraning gomomorf obrazi (aksi) gomomorfizm yadrosi bo’yicha faktor algebrasi izomorfligi haqidagi teoremani keltiramiz.
Teorema. (gomomorfizm haqidagi teorema) Agar epimorfizm va

tabiiy gomomorfizm bo’lsa, u holda tenglikni qanoatlantiruvchi
izomorfizm mavjud bo’ladi.
Isboti. deb olamiz, bunda Agar bo’lsa, u holda tenglik kelib chiqadi, ya’ni akslantirish korrekt aniqlangan. tenglikning bajarilishi tushunarli, bundan uning syureksiya ekanligi kelib chiqadi. akslantirishning gomomorfizm bo’lishi
to’g’ridan to’g’ri tekshiriladi. Agar bo’lsa, u holda bunda Bundan
ya’ni b=b’ bo’ladi, bu esa akslantirishning o’zaro bir qiymatli ekanligini isbotlaydi. Signaturaning funksional ekanligi va akslantirishning mavjudligidan ning izomorfizm ekanligi kelib chiqadi.Teoremada keltirilgan akslantirishlar quyidagi diagrammada keltirilgan: