Mavzu. Absalyut va shartli yaqinlashuvchi qatorla Reja

(9.3.5) monotonlik: shartiga asosan |b_k - b _k+1| - b_k-b_k+1 Shunday ekan, oxirgi tengsizlik o`ng tomonidagi yig'indi aynan Mb_m+1 - Mb_n+1 ga teng bo‘ladi. Bundan chiqdi,

Nihoyat, (9.3.6) shartdan foydalansak, (9.3.7) tengsizlik chap tomonidagi yig'indining nolga intilishi kelib chiqadi. Demak, Koshi kriteriysiga asosan, (9.3.3) qator yaqinlashar ekan
Ta’rif. Agar barcha b_k k = 1.2,3,... sonlar musbat bo‘lsa,

ko‘rinishdagi qator ishorasi navbatlashgan qator deyiladi. 9.3.2 - teorema (Leybnits alomati). Agar bk musbat sonlar ketma-keuigi monoton ravishda nolga yaqinlashsa, (9.3.8) ishorasi navbatlashgan gator yaqinlashuvchi bo ‘ladi. Isbot. Agar ak = (-1)^k-1 desak va

deb belgilasak, ravshanki, S₁ = 1,S₂ = 0 va umuman

tengliklar bajariladi.
Shunday ekan, S_n yig‘indilar ketma-ketligi chegaralangan bolib, biz 9.3 1 - teoremani qo'llashimiz mumkin. Bu teoremadan esa (9.3.8) qatorning yaqinlashuvchi ekani kelib chiqadi.
9.3.1 - misol. Ushbu

qatorni yaqinlashishga tekshiring. Leybnits alomatiga asosan, bu qator istalgan a > 0 lar uchun yaqinlashuvehidir. Ammo shuni aytish joizki, 9.2.2 paragrafdagi misolga ko‘ra, (9.3.9) qator 0 < a ≤ 1 bo'lganda faqat shartli yaqinlashadi. 2. Ma’lumki. qo‘shish arifmetik amali k.ommutativlik va assotsiativlik xossalariga ega. Shu sababli, chekli sondagi hadlar yig'indisini qarayotganda, ular qaysi tartibda joylashgani ahamiyatga ega emas. Ammo, cheksiz sondagi hadlarni qo'shayotganda. Hadlarning qaysi tartibda joylashgani muhim rol o‘ynaydi.
9.3.2 - misol tariqasida

qatorni qaraylik,
Bu qatoming yaqinlashishini ko'rsatish vauning yig'indisini hisoblash
uchun quyidagi

Teylor formulasidan foydalanamiz, bunda fin-ы qoldiq had Lagranj
ko‘rmishida olingan bo'lib, ya’ni

bo‘lib, Ԑ = Ԑ _n(x) bilan 0 < Ԑ < 1 intervalga tegishli biror nuqta belgilangan.
Xususan, agar x = l bo‘lsa,

bo‘lib, qoldiq had

bahoni qanoatlantiradi.
Endi S_n orqali (9.3.10) qatorning qismiy yig'indisini belgilasak, oxirgi tenglikdan

munosabat kelib chiqadi.
Ravshanki, (9.3.11) bahoga ko‘ra,

Shuning uchun,

ya’ni (9.3.10) qator yaqmlashar va uning yig'indisi ln2 ga teng ekan.
Bu qatorning juft 2n nomerii qismiy yig'indisini quyidagi ko'rinishda yozib olamiz

Endi (9.3.10) da, har bir musbat haddan keyin ikkita manfiy had keladigan qilib, hadlarini c`rnini almashtiramiz:

Albatta, bunday almashtirish natijasida hosil bo‘lgan qator (9.3.10) qatordan faqat hadlarining joylashish tartibi bilan farq qiladi. Agar yangi (9.3.13) qatorning qismiy yig‘indisim S'_n simvol bilan belgilasak,uning 3n nomerii qismiy yig‘indisini


koi'inishda yozish mumkin. Bu tenglikni o‘ng tomonidagi har bir qavsda birinehi ikki kasrni umumiy maxrajga keltirsak,

munosabatga ega bo'lamiz. Hosil bo‘lgan tenglik bilan (9.3.12) tenglikni taqqoslab,

ni olamiz.
Natijada, boshlang'ich (9.3.10) qator yig'indisi S va hadlarining o‘rm almashtirilgan (9.3.13) qator yig'indisi S' o'zaro quyidagi tenglik bilan bog'langanligini ko'rish qiyin emas:

ya’ni (9.3.10) qator yig'indisi, hadlarining joyi o'zgargandan keyin, ikki marta kamayib, In ga teng bo'lib qoldi.
3*. 0 ‘rganilayotgan (9.3.10) qator bundanda qiziqarli xossaga ega: (9.3.10) qatorning hadlarini tegishli ravishda o‘rnini almashtib, uni istalgan awaldan berilgan songa yaqinlashuvchi qilish mumkin.
Haqiqatan, agar hadlarining o!rnini almashtirish natijasida hosi bo'lgan qator qismiy yig‘indilari S'_n+m berilgan (9.4.10) qatorning n ta dastlabki musbat va m ta dastlabki manfiy hadlariga ega boisa,

bo‘ladi.
Bu tenglikdan, (9.2.14) va (9.2.17) asimptotik formulalarga asosan.


baho kelib chiqadi.
Ravshanki, istalgan musbat p son uchun (9.3.10) qator hadlarining o'rnini shunday almashtirish mumkinki, natijada hosil bo`lgan yangi qatorning har bir qismiy yig‘indisida musbat hadlarining soni n ni manfiy hadlari soni m ga nisbati p ga yaqinlashadi. Shunday ekan, oxirgi asimptotik bahoga ko‘ra, yangi qatorning yig'indisi In ga teng boladi.
Masalan, yangi hosil bo‘ Igan qatorda har bir musbat haddan so'ng bitta manfiy had kelsa, m = n va p = n/m1/4 bo'lib, qator yig'indisi In2 ga teng bo‘ladi. Bordiyu, yangi qatorda har bir musbat haddan so'ng ikkita manfiy had kelsa, rn = 2n va p = n/m = 1/2 bolib, qator yig'indisi In ga teng bo`ladi.
Nihoyat, agar (9.3.10) qatorda har bir musbat haddan so'ng to‘rtta manfiy had keladigan qilib hadlar o'rni almashtirilsa, m=4 n va p= n/m=1/4 bo!lib, hosil bo igan qatorning yig'indisi ln( ) = 0 ga teng bo'ladi.

2. 
   Umumiy holda
   

qator

qator hadlarining o'rnini almashtirish natijasida hosil bo'lgan boiishi uchun m_k natural sonlar quyidagi ikki shartni qanoatlantirishi kerak:
1) agar k≠j bo'lsa, m_k≠ m_j bo'ladi;
2) istalgan natural n soni uchun m_k = n tenglikni qanoatlantiruvchi m_k son topiladi.
Yuqorida shartli yaqinlashuvchi qator yig'indisi uning hadlarini qavsi tartibda qo'shilayotganiga qat’iy bogiiq ekani ko‘rsatildi. Agar qator absolyut yaqinlashsa, u hadlari o!mini ixtiyoriy o'zgartirilganda
ham yaqinlashadi va bunda uning yig'indisi o'zgarmaydi. Boshqacha. qilib aytganda, absolyut yaqinlashuvchi qator o!rin almashtirish xossasiga egadir.