Mavzu : A. N. Kolmogorov aksiomalaridan kelib chiqadigan extimolning xossalari. Shartli ehtimollik. Hodisalarning bog’liqsizligi va hodisalar yig’indisining ehtimoli. To’la ehtimollik va Bayes formulalari

Sezuvchanlik va o'ziga xosligi
Bayes teoremasi dori sinovlari daraxti diagrammasi. U kishi shaxs ekanligi haqidagi voqeani anglatadi. Gnathan87
Bayes teoremasi, tibbiy testlarda noto'g'ri pozitiv va noto'g'ri negativlarning ta'sirini oqilona ko'rsatmoqda.

• 
  Sezuvchanlik haqiqiy pozitsiyadir. Bu aniq aniqlangan pozitsiyalarning nisbati. Masalan, homiladorlik testida homilador bo'lgan homiladorlikning ijobiy testi bo'lgan ayollar ulushi bo'lishi mumkin. Tajribali test kamdan-kam hollarda "ijobiy".
  
• 
  Xususiylik - bu salbiy ko'rsatkichdir. To'g'ri belgilangan negativlarning nisbatlarini aniqlaydi. Misol uchun, homiladorlik testida homilador bo'lmagan homiladorlikning salbiy tekshiruviga ega bo'lgan ayollar foizi bo'ladi. Muayyan test kamdan-kam hollarda noto'g'ri pozitsiyani qayd qiladi.
  

Mukammal sinov 100 foiz sezgir va o'ziga xos bo'ladi. Aslida, testlarda Bayes xato darajasi deb nomlangan eng kam xato bo'ladi .
Misol uchun, 99 foiz sezgir va 99 foiz aniq bo'lgan dori testini ko'rib chiqing. Agar odamlarning yarmi (0,5 foizi) dori ishlatsa, tasodifiy shaxs ijobiy sinovga ega bo'lishi mumkinmi?
P (A | B) = R (B | A) R (a) / R (B)
Ehtimol, quyidagi kabi yoziladi:
P (foydalanuvchi | +) = P (+ | foydalanuvchi) P (foydalanuvchi) / P (+)
P (foydalanuvchi) + P (+ | foydalanuvchi) P (foydalanuvchi) + P (+ | no-user) P (foydalanuvchi)
P (foydalanuvchi | +) = (0.99 * 0.005) / (0.99 * 0.005 + 0.01 * 0.995)
R (foydalanuvchi | +) ≈ 33,2%
Vaqtning faqat taxminan 33 foizi tasodifiy shaxsning ijobiy testi bo'lib, u aslida giyohvand moddalarni iste'molchi deb hisoblaydi. Xulosa shuki, agar biror kishi preparat uchun ijobiy ta'sir ko'rsatsa, preparatni ular qo'llashdan ko'ra ko'proq foydalanmaydi. Boshqacha qilib aytganda, noto'g'ri pozitsiyalar soni haqiqiy pozitsiyalardan kattaroqdir.
Haqiqiy dunyodagi vaziyatlarda odatda ijobiy natija qoldirmaslik yoki salbiy natijani ijobiy deb baholamaslik yaxshiroq bo'ladimi-yo'qligiga qarab, savdo-sotiq odatda sezuvchanlik va o'ziga xoslik bilan amalga oshiriladi. Bayes teoremasi - bu ehtimollik ustunlaridan biri.Uning ismdoshi XVIII asrda nazariyani taklif qilgan Tomas Bayesdan (1702 - 1761) keladi. Ammo olim aniq nimani tushuntirmoqchi edi? Meriam-Vebster lug'atiga ko'ra, ehtimollik - bu ma'lum bir hodisani keltirib chiqaradigan bir xil ehtimolli natijalarning to'liq to'plamidagi natijalar sonining mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soniga nisbati. Ko'pgina ehtimollar nazariyalari dunyoni boshqaradi. Masalan, siz shifokorga borganingizda, ular sizni davolay olishlari mumkin bo'lgan narsani tayinlashadi. Bundan tashqari, reklama beruvchilar o'zlarining reklama kampaniyalarini targ'ib qilayotgan mahsulotlarini sotib olish ehtimoli ko'proq bo'lgan odamlarga qaratadilar. Bundan tashqari, siz kunlik qatnovingizni marshrut bo'yicha tanlaysiz, bu kamroq vaqt talab qilishi mumkin.
Bu qiyin tuyulsa-da, hamma narsaning izohi bor:

• 
  Boshlamoq,Bbiz oldindan ma'lumotga ega bo'lgan voqea.
  
• 
  Boshqa tomondan, atamaA (n)har xil shartli hodisalarni anglatadi.
  
• 
  Numeratorda shartli ehtimollik mavjud. Bu degani boshqa bir voqea (B) ham sodir bo'lishini bilib, biror narsa (voqea A) sodir bo'lish ehtimoli.Biz buni quyidagicha aniqlaymizP (A | B)va uni "A berilgan B ehtimolligi" sifatida ifodalang.
  
• 
  Belgilagichda biz P (B) ekvivalentiga egamiz.
  

Oldingi misolga qaytsak, siz anketani to'ldirish uchun tasodifiy kattalarni tanladingiz va ularning ishi yo'qligini angladingiz deb taxmin qiling.Bu odamning ayol bo'lish ehtimoli qanday? [P (W | U)]?
Oldingi misolni hisobga olgan holda, biz bilamizki, faol aholining 39% ayollardir. Qolganlari erkaklar ekanligini bilamiz. Bundan tashqari, biz bilamizki, ishsiz ayollarning ulushi 22 foizni va ishsiz erkaklar ulushi 14 foizni tashkil qiladi.
Va nihoyat, biz buni bilamiztasodifiy, ishsiz odamni tanlash ehtimoli 0,17 ga teng. Shunday qilib, agar Bayes teoremasini qo'llasak, natijada biz ishsiz bo'lganlarning ichida tasodifiy tanlangan odamning ayol bo'lish ehtimoli 0,5 ga teng bo'ladi.
P (W | U) = (P (W) * P (U | W) / P (U)) = (0.22 * 0.39) / 0.17 = 0.5
Ushbu maqolani ehtimol bilan bog'liq eng tez-tez uchraydigan chalkashliklardan biriga murojaat qilib yakunlaymiz. U faqat 0 va 1 oralig'ida bo'lishi mumkin. Agar hodisa ehtimoli 0 ga teng bo'lsa, unda bu sodir bo'lishi mumkin emas. Boshqa tomondan, agar ehtimollik 1 bo'lsa, unda bu aniq sodir bo'ladi.