Matritsalar va ular ustida amallar

A=   

 1 0 11 15 
Masalan, ^{ 0 5 3 −9} matritsa 4-tartibli kvadrat matritsadir. ^{a a}11 22^{, ,...,a}nn elementlarning tartiblangan tо‘plami kvadrat matritsaning asosiy
diagonali deyiladi.
5-ta’rif. Agar A a^{= ( ij )} kvadrat matritsada barcha ^{i  j i(  j)} lar uchun
^{aij =0} boʻlsa, u holda A matritsa yuqori (quyi) uchburchakli matritsa deyiladi.
a11 a12 ... a1n 
A= ^{0 a22 ... a2n} (yuqori uchburchakli matritsa)
 ... ... ... ... 

 

 0 0 ... ann 
a₁₁ 0 ... 0 
A=^{a21 a22 ... 0}  (quyi uchburchakli matritsa)
 ... ... ... ... 

 

an1 an2 ... ann
6-ta’rif. A a^{= ( ij )} kvadrat matritsaning diagonal elementlari noldan farqli
(ya’ni aii ^0) va qolgan barcha elementlari nolga teng (ya’ni, a^{ij =}0, ^{i  j} ) boʻlsa, u holda A matritsaga diagonal matritsa deyiladi.
a₁₁ 0 ... 0 
A= 0 a22 ... 0 .  ... ... ... ... 
 
 0 0 ... ann
7-ta’rif. Agar diagonal matritsaning barcha diagonal elementlari oʻzaro teng boʻlsa, u holda bunday matritsaga skalyar matritsa deyiladi ya’ni
a 0 ... 0 
^ 0 a ... 0 ^
A= .
... ... ... ...
 
_ 0 0 ... a_
8-ta’rif. Agar skalyar matritsada a=¹ boʻlsa, u holda bunday matritsaga birlik matritsa deyiladi va odatda E harfi bilan belgilanadi, ya’ni
 1 0 ... 0 
^ 0 1 ... 0 ^
E = .
... ... ... ...
 
_ 0 0 ... 1 _
Oʻlchamlari aynan teng boʻlgan matritsalar ustidagina algebraik qoʻshish amali bajariladi.
Oʻlchamlari aynan teng boʻlgan

a11 a21   ... A= a  i1  ...  am1 

a12 a22 ... ai2 ... am2

... ... ... ... ... ...

a1j a2 j ... aij ... amj

... ... ... ... ... ...

a1n  a2n  ...  ain  ...   amn 

va

b11 b21   ... B= b  i1  ...  bm1 

b12 b22 ... bi2 ... bm2

... ... ... ... ... ...

b1j b2 j ... bij ... bmj

... ... ... ... ... ...

b1n  b2n  ...  bin  ...   bmn 

matritsalarni qoʻshish uchun, ularning mos elementlari qoʻshiladi, y’ani

 a11+b11 a21+b21   ... A B C+ = = a b  i1 + i1  ...  am1 +bm1 

a12 +b12 a22 +b22 ... ai2 +bi2 ... am2 +bm2

... ... ... ... ... ...

a1j +b1j a2 j +b2 j ... a bij + ij ... amj +bmj

... ... ... ... ... ...

a1n +b1n  a2n +b2n  ...  ain +bin . ...   amn +bmn 

Matritsani biror haqiqiy ^ songa koʻpaytirish uchun bu son matritsaning har bir elementiga koʻpaytiriladi, y’ani

 a11 a12 ... a1j ... a1n     a21 a22 ... a2 j ... a2n    ... ... ... ... ... ...  A=  . a a ... a ... a
 i1 i2  ij  in   ... ... ... ... ... ...     am1 am2 ... amj ... amn   Ikkita matritsa ayirmasi quyidagicha topiladi:
 a11−b11 a12 −b12 ... a1j −b1j ... a21−b21 a22 −b22 ... a2 j −b2 j ...   ... ... ... ... ... A B D− = =  i1 − i1 ai2 −bi2 ... a bij − ij ... a b  ... ... ... ... ...  am1 −bm1 am2 −bm2 ... amj −bmj ... 	a1n −b1n  a2n −b2n  ...  a bin − in . ...   amn −bmn 

2-misol. Quyidagi matritsalarning yigʻindisi va ayirmasini toping:
3 1 0 2  4 −1 2 −2
A=1 4 3 1, B =−3 0 4 0 .

Yechish. A va B matritsalarning oʻlchamlari 2 4 ga teng. Shu sababli bu matritsalarni qoʻshish va ayirish mumkin. Ta’rifga asosan

3+ 4 A B+ =1−3 	1 1− 4+ 0	0+ 2 3+ 4	2− 2  7 1+ 0  =−2	0 4	2 7	0 1;
3−4 A B− =1+3 	1 1+ 4−0	0−2 3−4	2+ 2 −1 1−0   = 4	2 4	−2 −1	4 1.

3-misol. Quyidagi A matritsani =² soniga koʻpaytiring:
2 3
A=^8 2 .^
 
7 6_
2 3 2 2 2 3   4 6 
 A = 2A = 2^8 2^ = ^2 8 2 2 ^ = ^16 4 .^
     
Yechish. 7 6 2 7 2 6  14 12
4-misol. Firma 5 turdagi mahsulotni ikkita korxonada ishlab chiqaradi. Firmaning ishlab chiqargan mahsulotlari taqsimoti quyidagi jadvalda berilgan:

Mahsulot turlari	1	2	3	4	5
1-korxonada ishlab chiqarilgan mahsulotlar miqdori	139	160	205	340	430
2-korxonada ishlab chiqarilgan mahsulotlar miqdori	122	130	145	162	152

Firma ishlab chiqarish uskunalarini yangilash natijasida ishlab chiqarishni 17% ga oshirdi. Firma ishlab chiqarish uskunalarini yangilagandan keyin, firmaning bir oyda ishlab chiqargan mahsulotlari taqsimoti qanday boʻladi?
Yechish. Firmaning ishlab chiqarish uskunalarini yangilamasdan oldingi ishlab chiqargan mahsulotlari taqsimotini quyidagi matritsa koʻrinishda yozish mumkin:
139 160 205 340 430
^{P =}122 130 145 162 152^_^.
Firma ishlab chiqarish uskunalarini yangilagandan keyin, firmaning bir oyda ishlab chiqargan mahsulotlari taqsimotini topish uchun, bu ishlab chiqarish matritsasini 1,17 ga koʻpaytirish zarur boʻladi:
139 160 205 340 430
1,17P =1,17122 130 145 162 152 =

162,63 187,2 239,85 397,8 503,1 
^=142,74 152,1 169,65 189,54 177,84^_^.
Matritsalarni qoʻshish, ayirish va matritsani songa koʻpaytirish amallariga matritsalar ustida chiziqli amallar deyiladi.

1. 
   Matritsalarni qoʻshish va songa koʻpaytirish amallari quyidagi xossalarga boʻysinadi: A B B A+ = + ;
   
2. 
   A B C+ ( + ) = (A B C+ ) + ;
   
3. 
   (k A B+ ) = kA kB+ ;
   
4. 
   (k nA) = (kn A) ;
   

5)(k n A kA nA+ ) = + ;

6. 
   A+  = A;
   
7. 
   A+ −( A) = ;
   

8)1 A A= .

Bu yеrda bir xil o‘lchamli matritsalar, ^ matritsa esa matritsalar bilan bir xil o‘lchamli nol matritsa, k n, ⁻ixtiyoriy haqiqiy sonlar.
Matritsalarni koʻpaytirish amali faqatgina zanjirlangan matritsalar ustida bajariladi.
9-ta’rif. m p oʻlchamli A a= ( ij ) matritsaning p n oʻlchamli B b= ( jk ) matritsaga koʻpaytmasi deb elementlari cik =a bi1 1k +a bi2 2k + +... a bip pk qoida bilan aniqlanadigan m n^ oʻlchamli ^{С= (c}ik ⁾ matritsaga aytiladi.
Bu formuladan koʻrish mumkinki, A va B matritsalarning koʻpaytmasi ^C matritsadagi cik element A matritsaning i ⁻ satrida joylashgan har bir elementni B matritsaning k− ustunida joylashgan mos oʻrindagi elementga koʻpaytirish va hosil boʻlgan koʻpaytmalarni qoʻshish natijasida aniqlanadi.
a11 a12 
Masalan, bizga umumiy holda A = ^a^a3121 a^a3222 ^ va B=bb1121 bb1222 koʻrinishdagi
matritsalar berilgan boʻlsin. Bu matritsalarni koʻpaytirish quyidagicha amalga oshiriladi:
a11 a12   a b11 11 + a b12 21 a b11 12 + a b12 22 
AB = a21 a22 bb1121 bb1222  = a ba b21 1131 11 ++ a ba b32 2122 21 a ba b21 1231 12 ++ a ba b32 2222 22 .
a31 a32  
Endi buni aniq misollarda koʻrib chiqamiz.
5-misol. Quyidagi A matritsani B matritsaga koʻpaytiring:
3 1 1 1 1 -1
A = ^2 1 2^, B = ^2 -1 1 .^
   
1 2 3 1 0 1 
Yechish. 1. Izlanayotgan C AB⁼ matritsaning ^c11 elementi A matritsaning birinchi satr elementlarini B matritsaning birinchi ustun mos elementlari bilan koʻpaytmalarining yigʻindisiga teng, ya’ni

A B, ,С− AB, ,С
 1
c₁₁ = (3 1 1₎^{ }_{ }2 = 3 1 + 1 2 +1 1 = 6
  1 .

2. 
   Izlanayotgan C AB= matritsaning birinchi satr va ikkinchi ustunining elementi A matritsaning birinchi satr elementlarini B matritsaning ikkinchi ustun elementlari bilan mos ravishda koʻpaytmalarining yigʻindisiga teng:
   

 1 
c₁₂ = (3 1 1)^_−1^_ = 3 1 1 ( 1) +  − +1 0 = 2
 0  .

2. 
   Birinchi satr va uchinchi ustun elementi
   

−1
c₁₃ = (3 1 1)^_ 1^_ = 3 ( 1) − +1 1 1 1 +  = −1
 1
kabi aniqlanadi.

2. 
   Izlanayotgan matritsaning ikkinchi satr elementlari A matritsaning ikkinchi satr elementlarining B matritsaning mos ravishda 1, 2, 3-ustun elementlari bilan koʻpaytmalarining yigʻindisi sifatida topiladi:
   

c₂₁ = 2 1 + 1 2 + 2 1 = 6; c₂₂ = 2 1 +  −1 ( 1) + 2 0 =1; c₂₃ = 2 ( 1) − +1 1 + 2 1 =1.

2. 
   ^C matritsaning uchinchi satr elementlari ham shunga oʻxshash topiladi: c₃₁ =1 1 + 2 2 +3 1 =8; c₃₂ =1 1 + 2 ( 1) − +3 0 = −1; c₃₃ =1 ( 1) − + 2 1 +3 1 = 4.
   

Shunday qilib,
6 2 −1
C AB= = ^6 1 1 ^  
8 −1 4 .
6-misol. Quyidagi A va B matritsalar uchun ^{A B va B A } koʻpaytmalarni toping:
 1
 2
B= .
 3
A=(1 2 3 4),   4
Yechish. Bu matritsalar zanjirlangan boʻlganligi sababli ular ustida koʻpaytirish amali bajariladi.
 1
 2

AB=(1 2 3	4) = + + +(1 4 9 16)=(30 .)  3    ^4
 1  2 BA= (1  3    4	1 2 3 4  ^2 4 6 8 ^ 2 3 4)= . 3 6 9 12   4 8 12 16

Keltirilgan misoldan koʻrinib turibdiki, A va B matritsalarning koʻpaytmasi kommutativlik (oʻrin almashtirish) xossasiga ega emas, ya’ni AB  BA. Agar A va B bir xil tartibli kvadrat matritsalar boʻlsa, AB va BA koʻpaytmalarini topish mumkin. Agar A va B matritsalar uchun AB=BA ^{(AB BA=− )} munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda A va B matritsalar kommutativ (antikommutativ) matritsalar deyiladi. Masalan, E birlik matritsa ixtiyoriy A kvadrat matritsa bilan kommutativdir. Haqiqatan ham
AE = EA = A .
Matritsalarni koʻpaytirish amali quyidagi xossalarga ega:
1)(kA B) = k AB( ) = A kB( );
2)(A+ B C) = AC + BC;

3. 
   (A B + =C) AB + AC;
   
4. 
   A BC( ) = (AB C) .
   

Keltirilgan xossalardan toʻrtinchisini quyidagi misol yordamida tekshiramiz.
3 4 3 0 2
7-misol. A^{=(1 2)}, ^{B =}_^{2 1} va ^{C =} _^{5 1 0} matritsalar berilgan boʻlsin:
3 4

1. 
   AB=(1 2)2 1_=(7 6),
   

_
3 0 2
(AB C) =(7 6)5 1 0_=(51 6 14),
_
3 43 0 2 29 4 6

2. 
   BC =2 15 1 0  = 11 1 4,
   


29 4 6
A BC( ) =(1 2)11 1 4_=(51 6 14 .⁾
_
Koʻrinib turibdiki, ikki xil hisoblash usulida ham natija bir xil.
1 0-ta’rif. A kvadrat matritsani ^{m m( 1)} butun musbat darajaga ko‘tarish A A A A^m =  ... .
quyidagicha amalga oshiriladi: ^{m marta}
11-ta’rif. Agar A matritsada barcha satrlari matritsaning mos ustunlari bilan almashtirilsa, u holda hosil boʻlgan A^T matritsa A matritsaga transponirlangan matritsa deyiladi.
Transponirlangan matritsalar quyidagi xossalarga ega:
1)(A^T ₎^T =A,
2)(kA)^T =kA^T,
3(A B+ )^T = +A^T B^T,
4(AB)T =B AT T.
2 −1
A = 3 4  T  2 3 5 
A =
Masalan, ^5 ⁰ ^ boʻlsa, −1 4 0 boʻladi.
12-ta’rif. Agar A kvadrat matritsa uchun A= A^T munosabat oʻrinli boʻlsa, u holda bu matritsaga simmetrik matritsa deyiladi.
4 5 2
A = ^5 8 3^
 
Masalan, ^^{2 3 7} simmetrik matritsaning elementlari bosh diagonalga nisbatan simmetrik joylashgan.
n n( +1)

n⁻ tartibli simmetrik matritsaning turli elementlari soni koʻpi bilan 2 ga
teng, bunda n− natural son.
13-ta’rif. Agar A kvadrat matritsada A =−A^T munosabat oʻrinli boʻlsa, bunday matritsaga qiya simmetrik matritsa deb ataladi. Masalan,
 0 5 −2
A = −^ 5 0 3 ^.
 
 2 −3 0 
n⁻ tartibli qiya simmetrik matritsaning turli elementlari soni koʻpi bilan
n² − +n 1 formula yordamida topiladi, bunda n⁻ natural son.
14-ta’rif. Nolmas satrlarga ega A matritsada har qanday k⁻ nolmas satrning birinchi noldan farqli elementi ^{(k− −1)} nolmas satrning birinchi noldan farqli elementidan oʻngda tursa, u holda A pog‘onasimon matritsa deyiladi.
1 0 2 3 5− 
A=^0 0 4 0 1 ^

 

Masalan, ^^{0 0 0 7 0 } matritsa pog‘onasimon matritsadir.