Matrisa rangi. Matrisa rangi haqidagi asosiy teorema. Reja

Lemma 3. Agar matrisaning tartibli noldan farqli bo’lsa, u holda shu minorda hisoblangan ustunlardan tuzilgan vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo’ladi.

Isbot. Teskarisidan faraz qilamiz, ya’ni agar bu vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan bo’lsa, u holda minorning ustunlari shu minorning boshqa ustunlarining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi va demak determinantning xossasiga asosan minor nolga teng bo’ladi. Bu farazimiz esa lemma shartiga ziddir.

Endi matrisaning rangini minorlar yordaida hisoblashni beruvchi asosiy teoremani keltiramiz:

Teorema 4. Matrisaning rangi, uning noldan farqli eng kata minorlarining tartibiga tengdir.

Isbot. Faraz qilaylik, matrisaning rangi ga teng bo’lib, uning birinchi ta ustunlari chiziqli erkli bo’lsin. Shu ustunlarning elementlarida bosh minorni tuzib va uni o’z ichiga oluvchi ixtiyoriy tartibli minorni qaraymiz. Shuni ta’kidlaymizki lemmaga asosan va agar tartibli minor mavjud bo’lsa teorema shu yerni o’zida isbot bo’ladi. Faraz qilaylik tartibli minor