Matematikadan olimpiada masalalari (ii-kurs)

Matematikadan olimpiada masalalari (II-kurs)
1) d₁ va d₂ sonlari n-natural sonning bo`luvchilari uchun d<sub>1</sub>>d<sub>2</sub> shart bajarilsa, u holda
ekanligini isbotlang.
2) ABC uchburchakning AA<sub>1</sub> va BB<sub>1</sub> balandliklari uchun A<sub>1</sub> nuqtadan AC va AB tomonga tushurilgan perpendikulyar va B<sub>1</sub> nuqtadan BC va BA tomonlarga tushurilgan perpendikulyarlar asoslari teng yonli trapetsiya hosil qilishini isbotlang.
3) Shunday p va q tub sonlarini topingki ifoda (pq) ga bo`linsin.
4) shartni qanoatlantiruvchi barcha funksiyalarni toping.
Ixtiyoriy x-haqiqiy son uchun:
5) ABCD to`rtburchakga ichki aylana chizish mumkin.A uchudan chiquvchi a- to`g`ri chiziq BC tomonni M nuqtada va DC- nurni esa N nuqtada kesadi. I<sub>1</sub>, I<sub>2</sub> va I<sub>3</sub> nuqtalar mos ravishda ABM, MNC va NDA larga ichki chizilgan aylana markazlari bo`lsin. a- to`g`ri chiziq I₁I₂I₃ uchburchakning orto markazidan o`tishini isbotlang.
6) A to`plam elementlari quyidagicha tuzilgan. haqiqiy son va uchun va shart bajariladi. Agar ekanligi ma`lum bo`lsa A to`plamning barcha ratsional elementlari birdan katta ekanligini isbotlang.


Omad yor bo`lsin! (ajratilgan vaqt 180 min.)
Matematikadan olimpiada masalalari (II-kurs)
1) d<sub>1</sub> va d<sub>2</sub> sonlari n-natural sonning bo`luvchilari uchun d₁>d₂ shart bajarilsa, u holda
ekanligini isbotlang.
2) ABC uchburchakning AA₁ va BB₁ balandliklari uchun A₁ nuqtadan AC va AB tomonga tushurilgan perpendikulyar va B₁ nuqtadan BC va BA tomonlarga tushurilgan perpendikulyarlar asoslari teng yonli trapetsiya hosil qilishini isbotlang.
3) Shunday p va q tub sonlarini topingki ifoda (pq) ga bo`linsin.
4) shartni qanoatlantiruvchi barcha funksiyalarni toping.
Ixtiyoriy x-haqiqiy son uchun:
5) ABCD to`rtburchakga ichki aylana chizish mumkin.A uchudan chiquvchi a- to`g`ri chiziq BC tomonni M nuqtada va DC- nurni esa N nuqtada kesadi. I₁, I₂ va I₃ nuqtalar mos ravishda ABM, MNC va NDA larga ichki chizilgan aylana markazlari bo`lsin. a- to`g`ri chiziq I<sub>1</sub>I<sub>2</sub>I<sub>3</sub> uchburchakning orto markazidan o`tishini isbotlang.
6) A to`plam elementlari quyidagicha tuzilgan. haqiqiy son va uchun va shart bajariladi. Agar ekanligi ma`lum bo`lsa A to`plamning barcha ratsional elementlari birdan katta ekanligini isbotlang.


Omad yor bo`lsin! (ajratilgan vaqt 180 min.)