O‘zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti “Matematika

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI NIZOMIY NOMIDAGI TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI “Matematika va informatika” bakalavriat ta’lim yo’nalishi 202-guruh talabasi Xodjayeva Zilolaning “Geometriya” fanidan

Mustaqil ishi

Mavzu: Parallel proyeksiyalash yordamida parallel proyeksiyalar yasash

Reja:

• Markaziy proeksiyalash usuli
• Markaziy proyeksiyalashning xossalari
• Parallel proyeksiyalash usuli
• Parallel proyeksiyalashning xossalari.

Markaziy proeksiyalash usuli

Markaziy proeksiyalash usuli

Faraz qilaylik, fazoda S, A, B, C nuqtalar va П1 tekislik berilgan bo'lsin (1- rasm). S nuqtani A, B va C nuqtalar bilan tutashtiramiz. SA, SB va SC proeksiyalovchi nurlar П1 tekislikni mos ravishda A1, B1, C1 nuqtalarda kesib o'tadi. Bu nuqtalar A, B, S nuqtalarning markaziy proeksiyalari hisoblanadi.
1- rasm
Demak, S - nuqta proeksiyalash markazi, П1 - proeksiyalar tekisligi va SA, SB, SC - proeksiyalovchi nurlar deyiladi.1 Shakldan ko'rinib turibdiki, markaziy proeksiyalashda shaklning geometrik xossalari saqlanib, uning o’lchamlarigina o'zgaradi xolos. Ya’ni fazodagi ABC uchburchakning П1 tekislikdagi markaziy proeksiyasi A1B1C1 uchburchak-dan iborat, lekin o'lchamlari o'ziga teng bo’lmaydi.
Markaziy proyeksiyalashning xossalari
Markaziy proyeksiyalashda geometrik shakllar quyidagicha tasvirlanadi. 1-xossa. Nuqtaning markaziy proyeksiyasi nuqta bo'ladi. 2-xossa. SA nurda yotuvchi A, A1, A2, A3,... nuqtalaming markaziy proyeksiyalari Ap nuqta bilan ustma-ust tushadi. 3-xossa. Proyeksiyalash markazidan o'tmaydigan to'g'ri chiziq kesmasining proyeksiyasi kesma bo'ladi.
Parallel proyeksiyalash usuli
Proyeksiyalar markazi S cheksizlikda joylashgan deb qaralsa, u holda proyeksiyalovchi to'g'ri chiziqlar o'zaro parallel vaziyatni egallaydi. Shu yo'sinda qurilgan proyeksiyalarga parallel proyeksiyalar deyiladi. Yuqorida, ya‟ni markaziy proyeksiyalarda aytib o'tilgan xossalar parallel proyeksiyalarda ham saqlanib qoladi. Fazodagi har qanday nuqta faqat bitta parallel proyeksiyaga ega bo’ladi.
Parallel proyeksiyalarda ham xuddi markaziy proyeksiyalardagidek, nuqtaning bitta proyeksiyasi uning fazodagi vaziyatini to'liq aniqlay olmaydi.
2-rasmda S yo'nalishga parallel bo'lgan AA1, BB1, CC1proyeksiyalovchi to'g'ri chiziqlar П1 tekislik bilan kesishib fazodagi A, B, C nuqtalarning A1, B1, C1geometrik o'rinlarini, ya‟ni parallel proyeksiyalari hosil qiladi. A1, B1, C1proyeksiyalar A, B, C nuqtalarning fazodagi vaziyatini to'liq aniqlay olmaydi. Parallel proyeksiyalarda ham nuqtaning fazodagi vaziyatini uning ikki yoki undan ortiq proyeksiyalari yordamida aniqlanadi. Masalan, 3-rasmda fazodagi A, B nuqtalarning fazodagi vaziyati ularning A1, A2, B1, B2 proyeksiyalari orqali berilgan. Parallel proyeksiyalarda proyeksiyalash yo'nalishining proyeksiyalar tekisligi bilan hosil qilgan burchagiga qarab to‘g‘ri va qiyshiq burchakli proyeksiyalar farqlanadi.
Agar proyeksiyalash yo'nalishi proyeksiyalar tekisligi bilan o'tkir burchakni tashkil etsa, qiyshiq burchakli proyeksiyalar, to'g'ri burchakni tashkil etsa, to'g'ri burchakli yoki ortogonal proyeksiyalar hosil bo'ladi. Ortogonal proyeksiyalar parallel proyeksiyalarning xususiy xoli hisoblanadi.
Qiyshiq burchakli proyeksiyalar asosida aksonometrik proyeksiyalar quriladi, to'g'ri burchakli proyeksiyalar asosida esa texnik chizmalar tuziladi.
2-rasm 3-rasm
Parallel proyeksiyalashning xossalari
Agar obyekt elementlari istalgan proyeksiyalash usuli bilan tekislikka proyeksiyalansa, ular asliga nisbatan ma’lum darajada o’zgarib proyeksiyalanadi. Lekin, proyeksiyalanayotgan obyektning o'zi bilan uning proyeksiyalari orasidagi o’zaro bog’liqlik hamda ularning asosiy geometrik xossalari saqlanib qoladi. Quyida parallel proyeksiyalarning asosiy xossalarini ko’rib chiqamiz.
1-xossa. Nuqtaning tekislikdagi proyeksiyasi nuqta bo’ladi.
2-xossa. Proyeksiyalash yo’nalishiga parallel bo'lmagan to’g’ri chiziqning tekislikdagi proyeksiyasi to’g’ri chiziq bo’ladi.
3-xossa. Agar nuqta to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lsa, nuqtaning proyeksiyasi ham to'g'ri chiziq proyeksiyasiga tegishli bo'ladi (4-rasm).
4-xossa. Nuqta to„g„ri chiziq kesmasini qanday nisbatda bo„lsa, uning proyeksiyasini ham xuddi shunday nisbatda bo„ladi (4-rasm):
5-xossa. Kesishuvchi to„g„ri chiziqlarning proyeksiyalari ham kesishgan bo„ladi. Kesishuv nuqtasi va uning proyeksiyasi bitta bog„lovchi chiziqda yotadi (5-rasm):
6-xossa. Parallel to„g„ri chiziqlarning proyeksiyalari ham o„zaro parallel bo„ladi. To„g„ri chiziq kesmalarining nisbati ularning proyeksiyalari nisbatiga tengdir (6-rasm)
7-xossa. To„g„ri burchakli proyeksiyalarda, agar to„g„ri burchakning bitta tomoni proyeksiyalar tekisligiga parallel bo„lsa, hamda ikkinchi tomoni ushbu tekislikka perpendikulyar bo„lmasa, bunday hollarda to„g„ri burchak shu tekislikka o„zgarmay proyeksiyalanadi (7-rasm).
8-xossa. Tekis shakl proyeksiyalar tekisligiga parallel bo„lsa, u shu tekislikka o„zgarmay asliga teng bo„lib proyeksiyalanadi.
6-rasm 7-rasm
E`tiboringiz uchun rahmat!