Matematika modellashtirish 402-Guruh talabalari tayyorladi

Populyatsiyaning rivojlanish modeli.+Maltus modeli
Populyasiya evolyasiyasi modeli. Ekologiyada, biologiyada tirik organizmlarning tashqi muhit bilan o’zaro munosabatini o’rganiladi. Ko’payish yoki turli sabablarga ko’ra nobud bo’lish bilan bog’liq bo’lgan populyasiyalarning ba’zi differensial modellarini keltiramiz. Vaqtning bir birligida populyasiyada tug’ilishlar sonini A, nobud bo’ladiganlari sonini V desak, yetarli asos bilan populyasiya soni x ning vaqtga bog’liq o’zgarish tezligini

formula bilan berish mumkin. Endi masala A va B ni x ga bog’liqligini tavsiflashdan iborat. a) Eng sodda hol, populyasiyalar evololyusiyasi masalasida agar populyasiya ajratilgan, ozuqa resurslari chegaralanmagan, ko’payish tezligi balog’atdagi jonzotlar mikdoriga proporsional deb hisoblansa A  ax, B  bx (2) dan iborat, bu yerda a va b – vaqtning bir birligida tug’ilish va nobud bo’lish koeffisentlari. (2) ni hisobga olinsa, (1) ni

(3) ko’rinishda yozish mumkin. Bu tenglamaning yechimi

bo’ladi, bu yerda x(  – boshlang’ich momentdagi populyasiya soni k a b   (1) tenglamani 1802 yil Maltus birinchi bo’lib o’rgandi. Maltusning bu modeli kamchiligi shundan iboratki, bu tenglama populyasiyalarning juda tor sinfi uchun o’rinli bo’ladi. Maltus esa uni butun tabiat uchun, hatto kishilar jamiyati uchun ham universal qonun deb hisoblagan.

Populyatsiyaning rivojlanish modeliga misol keltiring. 2tani javobi 1 tada

Soni N bo’lgan biror populyasiya qaralayotgan bo’lsin. Uni shartli ravishda uch guruhga bo’lamiz. Birinchi guruhga ayni bir kasallikka moyil, lekin hozircha sog’lom bo’lganlari kiritiladi. Ularning t vaqtdagi sonini S(t) bilan belgilaylik. Ikkinchi guruhga infeksiya yuqtirganlar kiritiladi, ular kasallik tarqatish o’chog’i ham hisoblanadi. Ularning t vaqt momentida sonini I(t) bilan belgilaymiz. Va nihoyat uchinchi guruhga sog’lom va bu kasallikka immuniteti bor odamlarni kiritamiz. Ularning soni R(t) bo’lsin. Shunday qilib St I(t)  R(t)  N (1) Faraz qilamizki, infeksiya yuqtirgan odamlar soni biror fiksirlangan * I sondan oshib ketsa, kasallikka moyil odamlar sonining o’zgarish tezligi o’sha kasallikka moyil odamlar soniga proporsional bo’lsin. Infeksiyalangan (kasallangan), biroq tuzala boshlagan odamlar sonining o’zgarish tezligi infeksiya yuqtirganlar soniga proporsional deb hisoblaymiz. Albatta, bu farazlar real vaziyatni ancha soddalashtirsada, bir qator hollarda asl voqyelikka mos keladi. Birinchi farazga ko’ra infeksiyalangan odamlar soni   * I t  I bo’lganda, ular kasallikka moyil odamlarga kasallik yuqtirishlari mumkin deb hisoblaymiz. Bu esa infeksiyalangan odamlarni izolyasiyalash holati (karantin) e’tiborga olinganligini anglatadi. Yuqoridagi mulohazalarga asoslangan holda, kasallikka moyil odamlar soni o’zgarish modelini hosil qilamiz


Kasallikka moyil har bir odam oxir oqibat infeksiya yuqtirishi tufayli, infeksiya yuqtirganlar sonining o’zgarish tezligi vaqt birligi ichida endi kasallanganlar va tuzala boshlaganlar soni farqi bilan aniqlanadi. Demak,


(3) bu yerda  va  proporsionallik koeffisiyentlari mos ravishda kasallanish va sog’ayish koeffisiyentlari deyiladi. Va nihoyat, tuzalayotgan va immunitetga ega odamlar sonining o’zgarishi


(4) tenglama bilan aniqlanadi