Математика институти

§3.3 да нокритик МТЖ
P_ij (t)
ўтиш эҳтимолликларининг асимптотик

кўриниши ва ушбу жараён инвариант ўлчовларининг ҲФлари
орқали ифодаланиши кўрсатилган. Хусусан, барча i ∈ N учун
A(s)
функция

M (t;s) =
P_ij (t) _{s j}


→iqⁱ⁻¹ ⋅ M(s),
t → ∞ ,

i _{∑ P}
(t)

бунда

M(s)
j ∈N
функция ушбу
11

j ∈ ^jN
M(s) = _∑ µ s ^j

даражали қаторга ёйилади

ҳамда унинг _{µ _{j }}
номанфий коэффициентлари
Z(t)
жараён учун инвариант

тақсимот ташкил этади. Қуйидаги теоремалар исботланган.
Теорема 14. Агар a ≠ 0 ва [A] шарт бажарилса, у ҳолда


_a0 
A(s)^

M(s) = ⋅ ^1 −



A(0)^{ ,}

бунда A(s) функция (4) тенглик билан берилган.
Теорема 15. Агар a = 0 ва f ^′′(s ↑ 1) =: 2b < ∞ бўлса, у ҳолда

M(t;s) = ^a0
b
_⋅ s
1 − s
+ α(t;s) ,

19

бунда α(t;s) = O ₍1 t₎, t → ∞ , текис ҳолда барча 0 ≤ s ≤ r
< 1 учун.

Қуйидаги теорема нокритик МТЖ
P_ij (t)
ўтиш эҳтимолликларининг

t → ∞ бўлганда
O₍β^t ₎
тартибда нолга яқинлашиб боришини кўрсатади ва

бу эҳтимолликларнинг асимптотик ёйилмасини аниқлаб беради.
Теорема 16. Агар a ≠ 0 ва [A] шарт бажарилса, барча i, j ∈ N учун

ij
β^−tP (t) =
A(0) _iqi−1µ
M(q) ^j
(^{1 + O(1)})^,
t → ∞,

бунда A(s) функция (4) тенглик билан берилган.

Параграф давомида шунингдек,
Z(t)
жараённинг хоссалари узлуксиз

вақтли Марков занжирлари ҳолатларининг умумий классификацияси нуқтаи
назаридан таҳлил килинган. Ушбу S := _{j ∈ N : P_1j (t) > 0, t ∈ T _} тўпламни
киритайлик. Маълумки, узлуксиз вақтли Марков занжирининг ўтиш эҳтимолликлари экспоненциал равишда нолга камайиб борса, ихиёрий i ∈ S ҳолатга боғлиқ бўлмаган ушбу
_{λ = −lim} ln P_ii (t)

^S t →∞ _t
миқдор бу занжир ҳолатларининг “парчаланиш даражаси”ни тавсифлайди ва парчаланиш параметри деб аталади. Бу ҳолда қаралаётган занжирнинг инвариант ўлчови λ_S -инвариант ўлчов деб аталади. Занжирнинг ҳолатлари
_∫ +∞ e^λStP (t)dt
₀ ii
хосмас интегралнинг қиймати бўйича синфларга ажратилади. Агар бу

интеграл қиймати ∞ бўлса, ўтиш эҳтимолликлари
P_ij (t)
бўлган Марков

занжири λ_S -қайтувчи деб аталади. Интегралнинг қиймати чекли бўлса, занжир λ_S -қайтмас деб аталади. Қайтувчи ҳолатлар классификациясига

ii
мувофиқ, агарда lim_{t →∞}
e^λStP (t) > 0
бўлса, i ∈ S ҳолат λ_S
-мусбат қайтувчи

дейилади, акс ҳолда λ_S -ноль қайтувчи деб аталади.
Қуйидаги теорема ўринли.
Теорема 17. Агар a ≠ 0 ва [A] шарт бажарилса, у ҳолда
λ_S = ln β

ва Z(t)
жараён ҳолатлари λ_S -мусбат. ҲФ
M(s) яратган сонлар _{µ _{j }}
ягона

(ўзгармас кўпайтувчи аниқлигида) λ_S -инвариант ўлчов ташкил этади.
Энди ушбу
^P~ij ^{(t) := Pi} {^{Z(t) = j t < H < ∞}}
ўтиш эҳтимолликларини ва уларга мос ҲФ ни киритайлик:

i
^{V (t;s) =} _∑^P~ij ^{(t)s j .}
j ∈N
Қуйидаги теоремалар исботланган.
Теорема 18. Агар a ≠ 0 бўлса, у ҳолда i ∈ N ҳолатга боғлиқсиз ушбу

20

^{lim P~}ij ^{(t) = νj,}

j ∈ ^jN
t →∞
j ∈ N ,

лимит мавжуд ва ҲФ
V(s) = _∑ ν s ^j
барча s ∈ [0,1) учун ушбу

кўринишга эга бўлади, бунда
Теорема 19. Агар a = 0
_{V(s) =} M(qs)
M(q)
M(s) функция Теорема 14 да аниқланган.
ва 2b := f ^′′(s ↑ 1) < ∞ бўлса, барча i ∈ N учун

= ⋅
tV (t;s) ^{1 1} + ρ(t;s),

t → ∞ ,

ⁱ b 1 − s

бунда t → ∞ бўлганда барча s ∈ [0,1) учун текис ҳолда
ρ(t;s) = O ₍1 t₎.

Юқорида келтирилган иккита теорема
^P~ij ^(t)
эҳтимоллик ўлчови билан

аниқланган
Z^~(t)
тасодифий жараён эргодик Марков занжири ташкил

этишини кўрсатади.
§3.3 да узлуксиз вақтли иммиграцияли Марков тармоқланувчи жараёнлари (ИМТЖ) қаралган. Бу жараёнлар заррачаларнинг эволюцияси билан бирга тасодифий механизм билан бошқарилувчи бир хил типдаги заррачаларнинг шундай оқими ҳисобига ривожланиб борадики, қисқа (t,t + ε) вақт оралиғида популяцияга b_j ε + O(ε) эҳтимоллик билан j ∈ N дона
заррача кириб келади. Иммиграция оқими 1 + b₀ε + O(ε) эҳтимоллик билан

содир бўлмайди. Заррачалар иммиграцияси интенсивлиги _{b_{j }} учун b_j
≥ 0 ва

0 < −b₀
= _{∑j ∈N} b_j < ∞
шартлар ўринли. Иммигрант-заррачалар эволюцияси

келажакда _{a_{j }}
интенсивлик қонуни бўйича амалга ошади. Шундай қилиб,

ИМТЖ қуйидаги иккита инфинитезимал ҲФлар билан берилади:

j
f (s) = _∑ a s ^j ва
j ∈N₀
g(s) = _∑ b s ^j .

j
j ∈N₀

Ушбу
X(t)
миқдор билан t вақтдаги заррачалар сонини ифодаласин.

ИМТЖ ҳолатлари N₀
тўпламда узлуксиз вақтли бир жинсли Марков

^{занжирини ҳосил қилади.} {^X(t)}
занжир субкритик, критик ва суперкритик

дейилади, агарда мос равишда
a < 0 ,
a = 0
ва a > 0
бўлса. ИМТЖнинг

марковча табиатига кўра унинг ўтиш эҳтимолликлари
^{pij (t) := Pi} {^{X(t) = j}}

барча
i, j ∈ N ва t ∈ T учун Колмогоров-Чэпмен тенгламасини

қаноатлантиради. Мос ҲФ эса қуйидаги тенглик билан ифодаланади:
^{P(t;s) :=} _∑ ^{p (t)s j =} [^F(t;s)]i ^exp_{∫ t ^g (^F(τ;s))^dτ_}^,
i ij
j ∈N₀ ⁰
бунда F(t;s) = Es^Z(t) иммиграциясиз МТЖнинг ҲФидир.

Нокритик ҳолда
X(t)
жараённинг хоссалари узлуксиз вақтли Марков

j
занжирлари ҳолатларининг умумий классификациясига мувофиқ таҳлил

килинган. Хусусан,
a ≠ 0 ва
^∑j ∈N
b q ^j ln j < ∞
бўлганда
X(t)
жараённинг

21

парчаланиш параметри
λ_X =
g(q)
ва унинг ҳолатлари
λ_X -мусбат қайтувчи

бўлиши кўрсатилган. Ушбу
υ := lim ^{p0 j (t)}

p
^j t →∞
00
(t)

сонлар ягона (ўзгармас кўпайтувчи аниқлигида)
λ_X -инвариант ўлчов ташкил

этиши исботланган. Бундан ташқари, юқоридаги шартларда s ∈ [0,q) учун

i
e^λXt ⋅ P(t;s) →qⁱ ⋅ C(s),
t → ∞
(5)

j ∈N₀ ^j
яқинлашиш бажарилиб, C(s) = _∑ σ s ^j
ҲФ ушбу

C(s) = exp_^_∫ q ^{g(x) − g(q)}dx^_

^ ^s
кўринишга эга бўлиши исботланган.
f (x) _

Қуйидаги теоремада критик ҳолда А.Пэйкс томонидан
^∑j ∈N
a j² ln j ва

j
_{∑j ∈N} b_j j ln j
моментлар чекли бўлганда исботлаган тасдиқ кучсизроқ

шартларда ҳам ўринли бўлиши исботланган.

Теорема 20. Агар
a = 0 ,
2b := f ^′′(s ↑ 1) < ∞ ва
α := g ^′(s ↑ 1) < ∞

бўлса, барча i ∈ N ва барча s ∈ [0,1) қийматлар учун

i
t ^λP(t;s) → π(s), t → ∞,

бунда λ = α b
ва π(s) = _∑ π s ^j
ҲФ қуйидаги кўринишга эга:

j ∈N₀ ^j
₁ _


^{1 } g(u)
_{λ } _

π(s) =
_λ exp_∫
 ₊
^ du_.

[^{b(1 − s)}]
_ s
^_ f (u) 1 − u ^_{ }

Бу ҲФ X(t) жараён учун _{π_{j }}инвариант ўлчов яратади.