Matematika-informatika fakulteti "amaliy matematika va informatika" kafedrasi hisoblash usullari fanidan

1.3. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari.
Gausslmetodi.
Bu metod bir necha hisoblash sxemalariga ega. Biz Gaussning
kompakt sxemasigina bilan tanishamiz.
Quyidagi sistema berilgan bo‘lsin:
(1)
Faraz qilaylik, (yetakchi element) bo‘lsin deb, sistemaning
birinchiltenglamasidan
(2)
nilhosillqilamiz,lbulyerda

(2) dan foydalanib, (1) sistemaning qolgan tenglamalaridan
noma’lumni yo‘qotish mumkin, ya’ni (2) ni ketma-ket
larga ko‘paytirib, mos ravishda, ikkinchi, uchinchi va
h.k. tenglamalaridan ayirsak, natijada quyidagi sistema hosil bo‘ladi:
(3)
bulyerda

(3) tenglamalar sistemasida deb, yuqoridagidek jarayonni
bajarsak,

sistemaga kelamiz, bu yerda

Shu jarayonni n marta bajarish mumkin bo’lgan bo’lsa, (1) tenglamalar sistemasi
(4)
ko’rinishga keladi. Bu tenglamalar sistemasidan ketma-ket lar aniqlanadi. (1) dan qadamma-qadam (4) ko‘rinishga
kelish Gauss metodining to‘g‘ri yo‘li, (4) dan ketma-ket
lami aniqlash Gauss metodining teskari yo‘li deyiladi.
Faraz qilaylik, Gauss metodida to‘g‘ri yo‘lning m (m < n) ta
qadami bajarilishi mumkin bo‘lgan bo‘lsin, u holda quyidagiga ega
bo‘lamiz:
(5)
bulyerda

Gauss metodida bajarilishi mumkin bo'lgan qadamlaming soni
m ga teng bo'lgan bo‘lsa, bu shuni anglatadiki, (5) sistemaning
ikkinchi tenglamasidan boshlab yetakchi elementni ajratish mumkin
emas, chunki barcha lar nolga teng.
Agar (5) da nolga teng bo‘lsa, (5) bitta
tenglamadan iborat bo‘ladi.
Endi barcha qadamdagi birinchi tenglamalami birlashtirib,

sistemani hosil qilamiz. Bundan larni lar
orqali ifodalab olishimiz mumkin. Bu holda (1) cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi. Agar (5) da larning hech bo‘lmaganda birortasi noldan farqli bo‘lsa, u holda (1) yechimga ega emas
bo‘ladi.