Matematika fakulteti

2⁰. Ikkinchi tur sirt integralining mavjudligi va uni hisob­lash.

Faraz qilaylik, funksiya (1) tenglama bilan berilgan sirtda aniqlangan bo‘lsin.

1-teorema. Agar funksiya sirtda uzluksiz bo‘lsa, u holda bu funksiyaning sirt bo‘yicha ikkinchi tur integrali mavjud va

(3)

bo‘ladi.

◄ sirtning ixtiyoriy

bo‘laklashni olamiz. sirt va larning tekis­ligi­dagi proeksiyalar to‘plamning

bo‘laklashni hosil qiladi.

bo‘laklashga nisbatan funksiyaning integral yig‘in­­disi

ni tuzamiz.

Aytaylik, sirtning ustki tomoni qaralayotgan bo‘lsin. Unda barcha lar musbat ishora bilan olinadi.

funksiya sirtda qaralayotgani uchun

bo‘ladi. Jumladan

bo‘ladi.

Natijada yig‘indi quyidagi ko‘rinishga keladi:

. (4)

Bu tenglikning o‘ng tomonidagi yig‘indi ushbu

ikki o‘zgaruvchili uzluksiz funksiyaning integral yig‘indisi. Demak,

. (5)

(4) va (5) munosabatlardan

bo‘lishi kelib chiqadi. ►

Xuddi yuqoridagidek, tegishli shartlarda

,

integrallar mavjud va

(6)

(7)

bo‘ladi.

Ikkinchi tur sirt integrallari ikki karrali integrallarga kelti­ri­lib (3), (6) va (7) formulalar yordamida hisoblanadi.

1) Agar sirt yasovchilari o‘qiga parallel bo‘lgan silindrik sirt bo‘lsa, u holda

bo‘ladi:

2) yasovchilari o‘qiga parallel bo‘lgan silindrik sirt bo‘lsa, u holda

bo‘ladi:

3) yasovchilari o‘qiga parallel bo‘lgan silindrik sirt bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.

1-misol. Ushbu ikkinchi tur sirt integrali

hisoblansin, bunda sirt ning , tekisliklar ora­si­dagi qismining ustki tomoni (60-chizma).

60-chizma

◄ Sirtning nuqtadagi normali o‘qi bilan o‘tkir burchak tash­kil etadi. SHuning uchun berilgan integralni (3) formulaga ko‘ra hisob­lash­da musbat ishora bilan olinadi. sirtning tekisligidagi proeksiyasi ushbu

to‘rtburchakdan iborat bo‘ladi.

(3) formuladan foydalanib topamiz:





. ►
2-misol. Ushbu

integral hisoblansin, bunda sirt quyidagi

ellipsoidning pastki yarim qismining tashqi tomoni (61-chizma).

61-chizma
Ellipsoidning pastki yarim qismi

bo‘lib, uning tekislikdagi proeksiyasi

bo‘ladi. sirtning tashqi tomonidagi normali o‘qi bilan o‘tmas bur­chak tashkil etadi. SHuning uchun berilgan integralni (3) formulaga ko‘ra hisob­lashda manfiy ishora olinadi:

.

Keyingi integralda quyidagi , almash­ti­rish­ni bajarib, so‘ng uni hisoblaymiz:

.

Demak,

. ►