Matematika fakulteti

2⁰. Birinchi tur sirt integralining mavjudligi va uni hisoblash.

Aytaylik, funksiya (1) tenglama bilan beril­gan sirt­da aniqlangan bo‘lsin.

1-teorema. Agar funksiya sirtda uzluksiz bo‘lsa, u holda bu funksiyaning sirt bo‘yicha birinsi tur sirt integrali mavjud va

(3)

bo‘ladi.

◄ sirtning ixtiyoriy bo‘laklashini olib unga nis­ba­tan integral yig‘indi

ni tuzamiz.

bo‘laklash bo‘lakchalari larning tekislikdagi proek­siya­lari lar to‘plamning bo‘laklashini hosil qiladi.

Ma’lumki, , .

(2) formulaga ko‘ra

bo‘ladi.

O‘rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib topamiz:

bunda .

Natijada integral yig‘indi quyidagi ko‘rinishga keladi.

. (4)

Bu tenglikning o‘ng tomondagi yig‘indi ushbu

(5)

ikki o‘zgaruvchili uzluksiz funksiyaning integral yig‘indisi

(6)

ni eslatadi. (4) va (6) yig‘indilarni solishtirib ularning farqi (6) integral yig‘indida nuqta ixtiyoriy bo‘lgan holda (4) yig‘in­dida esa nuqta o‘rta qiymat haqidagi teore­ma­ga muvofiq bo‘l­gan tayin nuqta bo‘lishidadir. (5) funksiya to‘plamda uzluksiz, binobarin u to‘plamda integrallanuvchi bo‘lganligi sababli

bo‘ladi.

Demak,

. ►

Agar fazodagi sirt ushbu

tenglama bilan aniqlangan bo‘lib, bunda funksiya uzluk­siz va uzluk­siz , xususiy hosilalarga ega bo‘l­sa, bu sirtda uzluk­siz bo‘lgan funksiyaning birinchi tur sirt integrali mavjud va

(7)

bo‘ladi.

Agar fazodagi sirt ushbu

tenglama bilan aniqlangan bo‘lib, bunda funksiya uzluksiz va uzluk­siz , xususiy hosilalarga ega bo‘lsa, bu sirtda aniq­lan­gan uzluksiz funksiyaning birinchi tur sirt integrali mav­jud va

(8)

bo‘ladi. Bu tasdiqlar yuqorida keltirilgan teoremaning isboti kabi isbot­lanadi.

Birinchi tur sirt integrallari ikki karrali integrallarga kelti­ri­lib, (3), (7) va (8) formulalar yordamida hisoblanadi.

1-misol. Ushbu

integral hisoblansin, bunda sirt

sirtning tekis­lik bilan kesilgan chekli qismi.

◄Ravshanki sirt tenglamasi ko‘rinishdagi sirt (59-chizma).

59-chizma

Berilgan integralni (3) formuladan foydalanib hisob­lay­miz.

Ravshanki,

bo‘lib,

bo‘ladi.

sirtning tekislikdagi proeksiyasi

bo‘ladi. (3) formuladan foydalanib topamiz:

.

Endi ikki karrali integralni hisoblaymiz:

.

Demak,

. ►