Matematika” fakultetı “Ámeliy matematika” kafedrası

2-§. Arnawlı bolǵan shegaralıq máseleler ushın ayırmalı sxemalar

2.1 Arnawlı bolǵan differentsial máseleler ushın ayırmalı sxemalar qurıw.

Ayırmalı metod matematikalıq fizikanıń júdá kóplep máselelerin sanlı sheshiw ushın eń universal metod esaplanadı. Biraq soǵan qaramastan qoyılǵan másele ushın qurılǵan hár qanday ayırmalı sxema da kútilgen nátiyjeni berebermeydi.

Hár bir ayırmalı sxemanı qurǵanda onıń turaqlılıǵı, approktsimatsiyadan tártibi hám jaqınlasıw tezligin anıqlawǵa tuwrı keledi. Málim bir shártler orınlanǵanda turaqlılıq hám approksimatsiyadan jaqınlasıw kelip shıǵadı.
Esaplaw ámeliyatında arnawlı bolǵan differentsial máseleler de kóplegen ushırasıp turadı. Ádetdegi differentsial máselelerdi sanlı sheshiwge mólsherlengen ayırmalı sxemalar bunday máselelerdi sheshiw ushın ulıwma jaramsız bolıp tabıladı.
Arnawlı bolǵan shegaralıq máseleler ushın ayırmalı metodtı qollaw máselesi U. G. Bagmut, N. M. Baloyan, Yu. M. Moloxovich jumıslarında qaralǵan.
Tap sonıń menen birge V. M. Lujnix, Y. Y. Hamroyevning alıp barǵan izertlewleri logarifmlıq arnawlı bolǵan ekinshi tártipli differentsial teńleme hám differentsial teńlemeler sisteması ushın joqarı anıqlıqtaǵı ayırmalı sxemalar qurıw hám olardı analiz etiwge arnalǵan.
Ulıwma bul tarawda V. L. Makarov baslıqlıǵındaǵı ilimiy mekteptiń úlesi kútá úlken bolıp tabıladı.
Arnawlı bolǵan differentsial máseleler ushın joqarı anıqlıqtaǵı ayırmalı sxemalar qurıwda 1960 jıllarda A. A. Samarskiy hám A. N. Tixonovlar tárepinen pánge kiritilgen “anıq” ayırmalı sxemalar hám olarǵa tiykarlanǵan “m” reńli qırqılǵan ayırmalı sxemalar zárúrli áhmiyetke iye esaplanadı.
“Anıq” ayırmalı sxemalardıń tómendegi eki ábzallıq tárepi bar.
Birinshiden qoyılǵan differentsial máseleniń sheshimi ámeldegi hám birden-bir bolatuǵın shártler orınlanǵanda ayırmalı sxema da ámeldegi hám birden-bir boladı.
Ekinshiden ayırmalı sxemanıń anıqlıq dárejesin asırıw ushın “shablon” daǵı noqatlar sanın, tordaǵı túyinler sanın asırıwǵa hájet joq, tek ayırmalı sxemanıń koeffisientlerin ańlatıwshı matritsalıq qatarlarda, qosılıwshılar sanı asırılsa jetkilikli.
Sonıń menen birge “anıq” ayırmalı sxemalar hám qálegen anıqlıqtaǵı “qırqılǵan” ayırmalı sxemalar basqa ayırmalı sxemalar anıqlıǵın bahalawda etalon bolıp xizmet etiwi múmkin.Bunday ayırmalı sxemalardan chekli elementler metodı anıqlıǵın bahalawda da paydalanıw múmkin.
Máseleniń qoyılıwı sheshimniń bar ekenligi hám birden-birligi

Shegaralıq máseleni qaraymız. Bunda
(2.3)
Shártler orınlanadı.
(2.3) shártler orınlanǵanda, lar ushın (2.1), (2.2) shegaralıq másele birden-bir sheshimge iye boladı.
Bul jerde , de bóleklep úzliksiz funktsiyalar kompleksin ańlatadı.
Daslep (2.1) (2.2) shegaralıq másele ushın ayırmalı sxemanı
(2.4)
teń adımlı torda quramız. funktsiyalardıń úzilis noqatları tor noqatlarınan ibarat bolsın dep esaplaymız.
Tarif 2. 1. (2. 1), (2, 2) másele ushın úsh noqatlı anıq ayırmalı sxema dep,
(2.5)
kórinisindegi ayırmalı sxemaǵa aytıladı.
Bunda hám lar den baylanıslı funksionallar, bolsa den baylanıslı funktsional bolıp, ol ten sızıqlı baylanıslı. Bunda kesmada ózgeredi hám barlıq lar ushın shárt orınlanadı.
Bizge úsh noqatlı ayırmalı anıq sxemanı qurıw ushın tómendegi Koshi máseleleriniń sheshimi bolatuǵın funksiyalardıń ózgesheliklerinen paydalanıw kerek boladı.

(2. 6 )
Bul jerde kroneker simvolı yaǵnıy

Shablon funktsiyalardıń ózgeshelikleri tómendegi lemmalarda óz ańlatpasın tapqan.
Lemma (2.1), (2. 3) shártler orınlanǵan bolsın, ol halda Shablon funktsiyalar tómendegi ózgesheliklerge iye boladı.
1.
2. sızıqlı baylanıslı emes.
Lemma (2.2), (2.3) shártler orınlanǵan bolsın, ol halda funksiyalar tómendegi ózgesheliklerge iye boladı.
1) (2.7)
2) (2.8)