Matematika (analitik geometriya elementlari)

                          y 
 
                                             
)
;
(
y
x
M
   
 
 
 
 
     
F
2
(-
c
;0)   0  
F
1
(
c
;0)           
x 
   
 
                  
1-chizma
 
 
M
 
nuqtaning 
2
1
 
 va
F
F
  fokuslardan  masofalarini 
uning 
fokal radiuslari 
deyiladi va mos ravishda 
2
1
  
 va
ч
ч
 bilan 

---

43 
belgilanadi, 
ya’ni, 
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
M
F
ч
M
F
ч




 
ellipsning ta’rifiga ko’ra 
а
ч
ч
2
 
2
1


. 
Demak, 
a
M
F
M
F
2
)
,
(
)
,
(
2
1




           
                (6) 
Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga ko’ra 










2
2
2
2
2
1
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
y
c
x
M
F
y
c
x
M
F


          
 
  (7) 
Demak, 
a
y
c
x
y
c
x
2
)
(
)
(
2
2
2
2






  
Buni  soddalashtirish  maqsadida  uning  birinchi  hadini 
o’ng tomonga o’tkazamiz va tenglamaning har ikkala tomonini 
kvadratga ko’taramiz: 
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
4
4
)
(
у
с
х
у
с
х
а
а
у
с
х









 
buni    soddalashtirib, 
2
2
2
)
(
у
с
х
а
а
сх





ni  hosil 
qilamiz. Buning har ikkala tomonini kvadratga ko’taramiz: 
)
)
((
2
2
2
2
4
2
2
2
у
с
х
а
а
х
са
х
с





 
ta’rifga  ko’ra 
a
2
>
c
2
  bo’lgani  uchun 
2
2
2
b
c
a


  deb 
belgiilaymiz. U holda tenglama ushbu   
2
2
2
2
2
2
b
a
y
a
x
b


 
yoki          
2
2
2
2
b
у
а
х

=1        
              
(8) 
ko’rinishga  keladi.  Bu  tenglama 
ellipsning  kanonik 
tenglamasi 
deyiladi.  Endi  ellipsning  bu  kanonik  tenglamasiga 
ko’ra uning shaklini tekshiramiz. 

---

44 
1.
 
(8)  tenglama 
y
x
 
 va
  larning  juft  darajalarini  saqlagani 
uchun  ellips  koordinata  o’qlariga  nisbatan  simmetrikdir. 
Ko’rinib 
turibdiki, 
(8) 
tenglamani 
)
;
(
 
),
;
(
 
),
;
(
 
),
;
(
4
3
2
1
y
x
M
y
x
M
y
x
M
y
x
M




 
nuqtalarning  koordinatalari  qanoatlantiradi.  Shuning  uchun 
koordinata o’qlari ellipsning simmetriya o’qlari, ular kesishgan 
nuqta 
ellipsning  markazi
  deyiladi,  fokuslar  yotgan  o’q  uning 
fokal o’qi
 deyiladi.      
2.
 
Ellipsning koordinata o’qlari bilan kesishgan nuqtalarini 
topamiz.  Ellipsning 
Ox
  o’q  bilan  kesishgan  nuqtalarini  topish 
uchun ushbu tenglamalar sistemasini yechish kerak.    







0
1
2
2
2
2
y
b
у
а
х
                                  
 
(9) 
Bu sistemaning yechimi 
а
х


. 
Demak,  ellips 
Ox
  o’qini 
)
0
;
(
 
ва
 
)
0
;
(
2
1
a
A
a
A

 
nuqtalarda kesadi. Xuddi shunday qilib ellipsning 
0y
 o’qi bilan 
kesishish nuqtalari 
)
;
0
(
 
 va
)
;
0
(
2
1
b
B
b
B

 ekanligini topamiz. 
 
2
1
2
1
 
,
 
,
 
,
B
B
A
A
 nuqtalar 
ellipsning uchlari 
deyiladi.  
  
 
 
 
 
     y 
 
B
1
 
 
    A
2
       F
2
   F
1
        A
1
 
  x 
 
          B
2
 
2-chizma. 

---

45 
Ular 2-chizmada tasvirlangan. 
2
1
A
A
 kesma uzunligi 
a
2  ga 
teng  bo’lib,  u  ellipsning 
katta  o’qi
, 
1
OA
  kesma  uzunligi 
a
  ga 
teng  bo’lib,  uni  ellipsning 
katta  yarim  o’qi
  deyiladi. 
2
1
B
B
 
kesma uzunligi 
b
2  ga teng bo’lib, u ellipsning 
kichik o’qi
, 
1
OB
 
kesma uzunligi 
b
 ga teng bo’lib, u ellipsning 
kichik yarim o’qi
 
deyiladi. 
2-ta’rif. 
Ellipsning  fokuslari  orasidagi  masofaning  katta 
o’qining  uzunligiga  nisbati  ellipsning 
ekstsentrisiteti 
deyiladi 
va u 
e
 harfi bilan belgilanadi: 
а
с
а
с
е


2
2
 
Bu yerda 
a
c

 bo’lgani uchun 
1
0


e
 bo’ladi.
 
Misol.
 
)
5
;
0
(
M
  nuqta  orqali  o’tuvchi  fokuslari  orasidagi 
masofa  6  ga  teng  bo’lgan  ellipsning  kanonik  tenglamasini 
yozing. 
Yechish.
 Ellipsning kanonik tenglamasi 
1
2
2
2
2


b
у
а
х
 
ni  qaraymiz. 
)
5
;
0
(
M
  nuqta  ellipsga  tegishli  bo’lgani  uchun 
1
25
2

b
,  bundan 
25
2

b
.  Endi 
2
a
  ni  topish  qoldi;  ma’lumki, 
2
2
2
c
b
a


,  bunda 
c
  fokuslar  orasidagi  masofaning  yarimi 
2
a
=25+9=34. Demak, izlangan tenglama  
1
25
34
2
2


у
х
 
bo’ladi.    
 

---

46 
4. Giperbola 
 
1-ta’rif
.  Ixtiyoriy  nuqtasidan  fokuslar  deb  ataluvchi 
berilgan  ikki 
2
1
 
 va
F
F
  nuqtagacha  bo’lgan  masofalar 
ayirmasining  absolyut  qiymati  uzgarmas  miqdor 
a
2   ga  teng 
bo’lgan  tekislikdagi  barcha  nuqtalar  to’plami 
giperbola 
deyiladi.  (o’zgarmas miqdor 
a
2   fokuslar  orasidagi  masofadan 
(
c
2  dan) kichik deb olinadi). 
Giperbola 
tenglamasini 
keltirib 
chiqarish 
uchun 
ellipsdagidek ish ko’ramiz. 
Bu  yerda  ham  abssissa  o’qini  fokuslardan  o’tkazamiz, 
koordinata boshini esa fokuslarning o’rtasidan olamiz. U holda 
)
0
;
(
 
va
(-c;0)
2
1
c
F
F
  fokuslar  bo’ladi.  Ta’rifga  ko’ra 
a
M
F
M
F
2
)
,
(
)
,
(
2
1




, 
yoki 
a
y
c
x
y
c
x
2
)
(
)
(
2
2
2
2






. 
Buni soddalashtirib, 
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
c
a
a
y
a
x
c
a




                    (10) 
tenglamaga  kelamiz,  bu  yerda 
0
2
2


c
a
,  chunki 
.
2
2
c
a

 Shuning  uchun 
2
2
2
b
a
c


 deb olamiz. U holda (10) 
tenglama  
1
2
2
2
2


b
у
а
х
      
 
                   (11) 
ko’rinishga  keladi.  Bu  tenglama 
giperbolaning  kanonik 
tenglamasi 
deyiladi. 
Endi  (11)  tenlamaga  ko’ra  giperbolaning  shaklini 
aniqlaymiz. 
(11) tenglama 
y
x
 
 vа  o’zgaruvchilarning juft darajalarini 
saqlagani uchun giperbola ikkita simmetriya o’qiga ega bo’lib, 
ular  koordinata  o’qlaridan  iborat.  Giperbolaning  simmetriya 

---

47 
o’qlari uning 
o’qlari
 deb ataladi, ularning kesishish nuqtasi esa 
giperbolaning  markazi
  deb  ataladi.  Giperbolaning  fokuslari 
joylashgan o’q uning 
fokal o’qi
 deyiladi. 
Giperbola 
Ox
  o’qni 
)
0
;
(
 
ва
 
)
0
;
(
2
1
a
A
a
A

  nuqtalarda 
kesib  o’tadi,  lekin 
Oy
  o’q  bilan  kesishmaydi,  chunki 
0

x
 
bo’lganda 
2
2
b
y


 bo’lib qoladi va bu o’rinli emas. 
2
1
 
ва
 
A
A
 
nuqtalar 
giperbolaning  uchlari
,  ular  orasidagi  uzunligi  2
a
  ga 
teng bo’lgan kesma esa uning 
haqiqiy oqi
 deyiladi.  
Oy
  o’qida 
)
;
0
(
 
ва
 
)
;
0
(
2
1
b
B
b
B

 
nuqtalarni 
belgilasak, 
2
1
 
дан
 
B
B
 gacha bo’lgan 
b
2  uzunlikdagi kesma 
giperbolaning 
mavxum  o’qi
  deyiladi.  (11)  tenglamani 
y
  ga 
nisbatan yechami 
2
2
a
x
a
b
y



                         
 
(12) 
bo’ladi.  Avvalo  giperbolaning  shakli  I  chorakda  tasvirlanadi. 
Bu holda (12) da + ishora olinadi. 
Bu  yerda 
а
х

  bo’lib  qoladi.  (12)  da 


х
  da 
y 
0 
dan 


gacha o’sadi.  
   
 
         y