Matematik modellashtirishning asosiy tushunchalari. Modelь va uning turlari

MA’RUZA №4. Energiyaning saqlanish qonuni va Massa (materiya)ning saqlanish qonunidan foydalanib, ODDIY MATEMATIK MODELLAR QURISh.
Energiyaning saqlanish qonuni.
Bu qonun qariyb ikki asrlardan buyon ma’lum bo`lib, tabiatning buyuk qonunlari orasida alohida o`rinni egallaydi. Bu qonunga tayanib, mayatnik

4.1-rasm. Matematik mayatnik.
turidagi nisbatan oson qurilma - mustahkam va erkin aylanuvchi yengil sterjenga osilgan yuk (4.1-rasm) dan foydalanib, to`pponcha o`qining tezligini aniqlash mumkin.
Faraz qilaylik, massali o`q massali yukka tezlik bilan otilsin. O`qning otilishi natijasida yukda tiqilib qolgan o`q «o`q-yuk» sistemasiga o`zining kinetik energiyasini beradi. O`z navbatida bu kinetik energiya sterjenning vertikaldan eng yuqori chetlashishi momentida «o`q-yuk» sistemasining potentsial energiyasiga aylanadi.
Energiyaning bir turdan ikkinchi turga aylanishi quyidagi tengliklar orqali tasvirlanadi:

Bu yerda  tezlikka ega bo`lgan massali o`qning kinetik energiyasi,  yukning massasi,  «o`q-yuk» sistemasining to`qnashuvdan keyingi tezligi,  erkin tushish tezlanishi,  sterjenning uzunligi,  vertikaldan eng eng yuqori chetlashish burchagi. Ushbu formuladan izlanayotgan tezlik uchun quyidagi tenglikni aniqlash mumkin:

Tezlikning bu qiymati o`q yukni isitishi, havoning qarshiligini yengish, sterjenni tezlashtirish va va hakozalarga sarf bo`lgan energiyalar unchalik katta bo`lmaganida aniq ko`rinishga ega bo`ladi. Bir qarashda o`rinli bo`lgan mazkur mulohaza aslida to`g`ri emas. O`q va mayatnikning «yopishish»i paytida sodir bo`ladigan jarayonlar bu holatda sof mexanik jarayonlar emas. Shu sababli kattalikni hisoblashda qo`llanilgan mexanik energiyaning saqlanish qonuni o`rinli emas: sistemaning mexanik energiyasi emas, to`liq energiyasi saqlanadi. U o`qning tezligini baholash uchun quyi chegarani beradi, xolos (bu sodda masalani to`g`ri yechish uchun impulьsning saqlanish qonunidan ham foydalanish kerak bo`ladi).

4.2-rasm. Metallni lazer bilan o`yishning boshlang`ich,
oraliq va yakuniy bosqichlari.

Yuqorida keltirilgan mulohazalarni qalinlikdagi metall qatlamini nurlanishi materialning sirtiga perpendikulyar bo`lgan quvvatli lazer bilan o`yish vaqti ni baholashda ham qo`llash mumkin.

Agarda lazerning energiyasi (  nurlanuvchi yuza,  ustunchaning hajmi,   moddaning zichligi) massali metall ustunchasining bug`lanishiga to`liq sarf bo`lsa, u holda energiyaning saqlanish qonuni quyidagi tenglik bilan ifodalanadi:
, (1)
bu yerda  birlik massaning bug`lanishi uchun kerak bo`ladigan energiya. energiya bir necha energiyalarning yig`indisidan iborat: . Chunki materialni ketma-ket ravishda erish temperaturasi gacha isitish, so`ngra qizitib, bug`ga aylantirish kerak (  boshlang`ich temperatura, – solishtirma issliqlik sig`imi, va  mos ravishda erish va bug` hosil qilishning solishtirma issiqliklari).
O`yish chuqurligi ning vaqt o`tishi bilan o`zgarishi dan gacha bo`lgan vaqt oralig`idagi energiyaning muvozanatidan aniqlanadi. Bu vaqt ichida bug`langan

massaga energiya sarf bo`lib, bu energiya lazer tomonidan moddaga uzatiladigan energiyaga teng bo`ladi:
.
Bu yerdan quyidagi differentsial tenglamani hosil qilish mumkin:
.
Boshlang`ich o`yish chuqurligi nolga tengligini hisobga olgan holda tenglamani integrallash natijasida o`yish chuqurligi uchun quyidagiga ega bo`lish mumkin:
. (2)
Bu yerda  lazer tomonidan vaqt momentigacha ajralgan hamma energiyani ifodalaydi. Demak, o`yish chuqurligi sarf bo`lgan energiyaga proportsionaldir.
Aslida o`yish jarayoni o`rganib chiqilgan sxemaga qaraganda ancha murakkabdir. Negaki, energiya moddani isitish, noto`g`ri shaklda bo`lishi mumkin bo`lgan o`ymadan bug`larni yo`qotish uchun sarf bo`ladi. Shuning uchun, taklif etilgan matematik modelning to`g`riligiga ishonch unchalik katta emas.