Matematik analizga kirish Ketma-ketlik limiti Funksiya limiti

Ketma-ketlik limiti
Agar n ning yetarli katta qiymatlarida ketma-ketlik s ga yetarlicha yaqin bo’lsa, u holda ketma-ketlik s limitga ega deyiladi va quyidagicha yoziladi :
yoki da
Biror bir haqiqiy songa intilmaydigan ketma-ketlik uzoqlashuvchi deyiladi. Masalan, va ketma-ketlik uzoqlashuvchidir.
Misol. lar uchun radiusi 1 bo’lgan aylanaga ichki chizilgan muntazam ko’pburchak yuzasi.
n = 3 da muntazam uchburchak yuzasi, n = 4 da muntazam to’rtburchak yuzi, n = 5 da muntazam beshburchak yuzi va hokazo. (1-rasm).

n ning ortishi bilan ko’pburchak yuzi ortib bormoqda, lekin radiusi 1 doira yuzi π dan katta bo’la olmaydi.
Intuitive tarzda, n yetarli katta bo’lganda va π orasidagi ayirmani yetarlicha kichik qilish mumkin, u holda da .
Bu misolda va ma’noga ega emas, demak ketma-ketlik hadlari dan boshlanadi.
Ta’rif. Agar ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlik bo’lsa, u holda ketma-ketlik limiti a songa teng (yoki a song yaqinlashadi) deyiladi. Bu hol shaklda ifoda etiladi.
Demak, agar tenglik o’rinli bo’lsa, deyiladi. Bunday ketma-ketlik yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.

1. 
   Istalgan va sonlar uchun ,
   
2. 
   Yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangandir.
   
3. 
   .
   
4. 
   , va bo’lsa, tenglik o’rinli bo’ladi.
   
5. 
   Biror nomerdan boshlab bo’lsa, u holda .
   

Teorema. Agar o’suvchi (kamayuvchi) ketma-ketlik bo’lib, yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo’lsa, u holda yaqinlashuvchi va bo’ladi.