Matematik analizga kirish Ketma-ketlik limiti Funksiya limiti

11-teorema. (6) funksiyalar biror nuktada, funksiyada esa unga mos nuktada differensiallanuvchi bulsin. Bu yerda , u xolda lar (6) munosabat bilan aniklangan murakkab funksiya M nuktada differensiallanuvchi buladi. Bunda bu funksiyaning M nuktadagi xususiy xosilalari (7) formula bilan aniklanib, bu formulalarda barcha xususiy xosilalar N nuktada (6) funksiyalarning t₁, t₂, …, t_k argumentlar buyicha barcha xususiy xosilalari M nuktada xisoblanadi.
Isbot. t₁, t₂, …, t_k argumentlarga nuktada xammasi bir vaktda nolga tent bulmagan ixtiyoriy orttirmalar beramiz. Bu ortirmalarga (6) funksiyalarning M nuktada orttirmalari mos keladi. orttirmalarga uz navbatida funksiyaning N nuktada orttirmasi mos keladi. funksiyalar N nuktada differensiallanuvchi bulgani uchun bu funksiyalarni kuyidagi kurinishda yozish mumkin:
(8)
Bunda xususiy xosilalar N nuktada olinadi, lar esa da cheksiz kichik mikdorlar bulib, da nolga tent (8) munosabatda lar (6) funksiyalarning argumentlariga mos keluvchi orttirmalari ekanligi ta’kidlab utamiz. (6) funksiyalar nuktada differensiallanuvchi bulgani uchun kursatilgan orttirmalarini kuyidagi kurinishda yozish mumkin:
(9)
bunda xususiy xosilalar M nuktada olinadi,

Biz (8) ning ung tomoniga (9) ifodalarni kuyib, orttirmani ushbu
(10)
kurinishda yozishimiz mumkinligiga ishonch xosil kilishimiz kerak, bunda
(11)
Bu bilan teoremaning isboti tugadi, chunki (10) formula murakkab funksiyaning differensiallanuvchi bulishini, (11) ifoda esa kursatilgan murakkab funksiyaning xususiy xosilalaridan iborat ekanligini kursatadi.
(8) ning ung tomoniga (9) ifodani kuyganda, kushiluvchilar gruppasidan tashkari boshka kushiluvchilar gruppasiga xam ega bulamiz. Biz boshka xamma kushiluvchilar gruppasini o(r) mikdorni tashkil etishiga ishonch xosil kilishimiz kerak.
Bu kuyidagi muloxazalardan kelib chikadi:
1. (8) formulada xamma xususiy xosilalar N nuktada xisoblanadi, ya’ni ularni o(r) ga kupaytirish natijasida yana o(r)
mikdor xosil buladi.
2. Barcha lar tengsizlikni kanoatlantiradi. Bu (9) formuladan bevosita kelib chikadi.
3. (8) formulada barcha a_i lar da cheksiz kichik funksiyalardan iborat.
Xakikatdan xam, barcha a_i lar da cheksiz kichik. Ammo (6) funksiyalar differensiallanuvchi, shunday ekan M nuktada uzluksiz va shuning uchun lar da nolga intiladi.
4. Xar bir kupaytma o(r) mikdordan iborat. Bu 2 va 3 punktlardan bevosita kelib chikadi. Teorema isbotlandi.