Matematik analiz fanidan

1-ta’rif. Agar _f (_z ) funksiya qutb maxsus nuqtadan boshqa yakkalangan maxsus nuqtaga ega bo’lmasa meromorf funksiya deyiladi.

2 – ta’rif. Cheksiz ko’paytmalar deb erkli o’zgaruvchi x, noma’lum y=f(x)
funksiya va uning u', u'’,.....,u(n) hosilalari orasidagi bog’lanishni ifodalaydigan
tenglamaga aytiladi.
Agar izlangan funksiya y=f(x) bitta erkli o’zgaruvchining funksiyasi bo’lsa,
u holda Cheksiz ko’paytmalar oddiy differentsial tenglama, bir nechta
o’zgaruvchilarning funksiyasi bo’lsa u=U(x1, x2,...., xn) xususiy hosilali Cheksiz ko’paytmalar deyiladi.
3-ta’rif. Cheksiz ko’paytmalarning tartibi deb tenglamaga kirgan hosilaning
eng yuqori tartibiga aytiladi.
4-ta’rif. Cheksiz ko’paytmalarning yechimi yoki hosilai deb differensial
tenglamaga qo’yganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday y=f(x) funksiyaga
aytiladi.
Birinchi tartibli differentsial tenglama umumiy holda quyidagi ko’rinishda
bo’ladi. y y tenglamaga ega bo’lamiz. Odatda, (2.2) tenglama hosilaga nisbatan yechilgan tenglama deyiladi. (2.2) tenglama uchun yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema o’rinli :
Teorema. Agar (2.2) tenglamada f(x,y) funksiya va undan y bo’yicha
olingan df/dy xususiy hosila X0Y tekisligidagi (x0,y0) nuqtani o’z ichiga oluvchi
biror sohada uzluksiz funksiyalar bo’lsa, u holda berilgan tenglamaning y(x0)=y0
shartnii qanoatlantiruvchi birgina y=(x) yechimi mavjud.
x=x0 da y(x) funksiya y0 songa teng bo’lishi kerak degan shart boshlang’ich
shart deyiladi:
y(x0)=y0
4 – ta’rif. Birinchi tartibli Cheksiz ko’paytmalarning umumiy yechimi deb
bitta ixtiyoriy C o’zgarmas miqdorga bog’liq quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi
y=(x,с) funksiyaga aytiladi:
a) bu funksiya Cheksiz ko’paytmalarni ixtiyoriy с da qanoatlantiradi;
b) x=x0 da y=y0 boshlang’ich shart har qanday bo’lganda ham shunday с=с0
qiymat topiladiki, y=(x,с0) funksiya berilgan boshlang’ich shartni qanoatlantiradi.
5 – ta’rif. Umumiy yechimni oshkormas holda ifodalovchi F(x,y,с)=0
tenglik (1.1) differentsial tenglamaning umumiy hosilai deyiladi.
6 – ta’rif. Ixtiyoriy с - o’zgarmas miqdorda с=с0 ma’lum qiymat berish
natijasida y=(x,с) umumiy yechimdan hosil bo’ladigan har qanday y=(x,с0)
funksiya xususiy yechim deyiladi. F(x,y,с0) - xususiy hosila deyiladi.
7-ta’rif. (2.1) Cheksiz ko’paytmalar uchun dy/dx=с=const munosabat
bajariladigan nuqtalarning geometrik o’rni berilgan Cheksiz ko’paytmalarning
izoklinasi deyiladi.
Agar Cheksiz ko’paytmalardagi noma’lum funksiya ikki va undan ortiq ko’p
argumentlarga bog’liq bo’lsa, u xususiy hosilali Cheksiz ko’paytmalar deyiladi.
Bunday tenglamalarning nomidan ko’rinib turubdiki, ularda funksiyaning erkli argumentlari bo’yicha xususiy hosilalari qatnashadi.
Cheksiz ko’paytmalardagi kabi xususiy hosilali differensial
tenglamalar ham cheksiz ko’p yechimlarga ega. Bu yechimlarga umumiy
yechimlar deyiladi. Xususiy yechimlar umumiy yechimlardan ma’lum shartlar
asosida ajratiladi. Bu qo’shimcha shartlar tenglama qaralayotgan sohaning odatda
chegarasida beriladi.
Xususiy hosiladagi erkli o’zgaruvchilardan biri vaqt bo’lishi ham mumkin.
Bunday fizik va texnik masalalar amalda ko’p uchraydi. Qo’shimcha shartlar
sifatida bunday tenglamalar uchun vaqtning biror belgilangan qiymatida izlanuvchi
funksiyaning qiymatlari ishlatiladi. Masalan,shart boshlang’ich vaqt t=0 da (yoki
umuman t= t0 ,to =const) berilishi mumkin. Bunday shartga biz boshlang’ich shart
deymiz. Qo’shimcha shartlar soha chegarasida berilsa, bunday masalaga chegaraviy masala deyiladi.
Agar chegaraviy shartlar berilmasdan faqat boshlang’ich shart
berilsa,bunday masalaga xususiy hosilali Cheksiz ko’paytmalar uchun Koshi
masalasi deyiladi. Bunda masala cheksiz sohada qaraladi.
Masalada ham boshlang’ich, ham chegaraviy shartlar qatnashsa,bunday
masalaga aralash masalalar deyiladi. Bu yerda xususiy hosilali Cheksiz ko’paytmalarning xususiy holi bo’lgan chiziqli tenglamalarni qaraymiz. Umumiy ko’rinishda ikkinchi tartibli hosilalarga nisbatan chiziqli tenglama
kabi yoziladi.Bunda u =u ( x , y ) izlanuvchi funksiya, erkli o’zgaruvchilar,indeksdagi x va y lar u funksiyaning x vay bo’yicha hosilalarini
anglatadi. a,b,c,d,e,f,g koeffitsientlar umuman x,y va u ga bog’liq funksiyalar
bo’lishi mumkin. Agar ular o’zgarmas sonlardan iborat bo’lsa, (3.1) tenglama
o’zgarmas koeffisiyentli, x va y ga bog`liq funksiyalar bo`lsa – o`zgaruvchi
koeffisiyentli va, nihoyat, x , y va u ga bog`liq funksiyalar bo`lsa – kvazichiziqli
deyiladi. (3.1) tenglamaning tipi (turi) D b ac   2 4 diskriminantning ishorasi bilan aniqlanadi.
Agar D  0 bo`lsa, tenglama giperbolik, D  0 bo`lsa parabolik va
D  0 bo`lsa, elliptik tipga tegishli bo`ladi.
Tenglamaning tipini aniqlash muhim ahamiyatga ega, chunki bir xil tipdagi
har xil tenglamalar juda ko`p umumiy xususiyatlarga ega bo`ladi. Har xil tipga
tegishli tenglamalarning xususiyatlari bir-biridan keskin farq qiladi. Tenglama
o`zgaruvchi koeffisiyentli bo`lsa, qaralayotgan sohada uning tipi o`zgarishi
mumkin. Masalan, sohaning bir bo`lagida parabolik tipga ega bo`lgan tenglama
uning ikkinchi bo`lagida giperbolik tipga aylanadi. Bunday tenglamalarga
o`zgaruvchi tipli tenglamalar deyiladi. Matematik masalalarning qo`yilishi ham har
xil tipdagi tenglamalar uchun har xil bo`ladi.
Giperbolik tipga tegishli eng soda tenglama to`lqin tenglamasidir. U
ko`rinishga ega. Bunda u t x ( , ) izlanuvchi funksiya, u har xil masalalarda har xil
fizik ma’noga ega, t  vaqt, x  chiziqli koordinata, a2 -o`zgarmas koeffisiyent. Bu
tenglama yordamida ingichga torlar, har xil materiallardan ishlangan tayoqlar va
boshqa xildagi narsalarning ko`ndalang va bo`lama tebranishlari jarayonlarini
o`rganish mumkin. Quvurlarda qovushqoq suyuqliklarning nostatsionar harakati suyuqlik zichligi o`zgarmas bo`lganda tenglamani hosil qilamiz.
Ma’lumki, issiqlik tarqalish hodisasi Fur’ye qonuni asosida o`rganiladi.
Agar jism sirtiga o`tkaziladigan issiqlik ta’siri vaqt bo`yicha juda tez o`zgarsa va
jism har xil materiallar aralashmasidan iborat bo`lib, bu materiallar turli issiqlik
xossalariga ega bo`lsa, Fur’ye qonunidan chetlanish yuz beradi. Issiqlik oqimi
temperatura gradiyenti gradT ma’lum darajada o`zgarganda o`zining statsionar
holatiga darhol emas, ma’lum vaqt o`tgach erishadi. Bu o`tish vaqtining
davomiyligi relaksatsiya vaqti deb ataluvchi kattalik bilan aniqlanadi.
Umumlashgan Fur’ye qonuni ko`rinishda beriladi. Bunda h  o’zgarmas son, ( , , ) x y z - berilgan funksiya. Elliptik tipdagi tenglama (3.8) tenglamadan statsionar holda hosil bo`ladi: Bu tenglamaga Puasson tenglamasi deyiladi. Ko`rinishdagi ko`chirish tenglamasi deb ataluvchi tenglamani olamiz.
Xususiy hosilali Cheksiz ko’paytmalarni yechish usullari xuddi oddiy
Cheksiz ko’paytmalardagi kabi bir necha guruhga bo`linadi: aniq usullar, taqribiy
usullar va sonli usullar. Aniq usullar bilan chiziqli xususiy hosilali tenglamalar sodda ko`rinishdagi chegaraviy va boshlang`ich shartlar bilan berilganda yaxshi natijalar olish mumkin. Bu guruhga o`zgaruvchilarni ajratish, tarqaluvchi to`lqinlar, manba funksiyalari, Laplas almashtirishlari va boshqa usullar kiradi.
Taqribiy usullar ham umumiy ko`rinishda berilgan masalalarni yechishda
bevosita ishlatilishi mumkin emas. Faqat xususiy hollardagina, masalaning ayrim
xususiyatlaridan foydalanib uni soddalashtirib taqribiy yechimlar olinishi mumkin.
Agar x0 bo‘lsa, (2) tenglikdan 0 va u0 bo‘lishi, agar u0 bo‘lsa, u holda (3) tenglikdan 0 ekanligi kelib chiqadi. Bulardan esa x0 da f’(u)+’(x)+ cheksiz kichik funksiya ekanligi kelib chiqadi, uni  bilan belgilaymiz.
Shunday qilib, y=f’(u)’(x)x+x tenglik o‘rinli. Bundan
= f’(u)’(x)+ va =f’(u)’(x) o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
Bu esa y’= f’(u)’(x) ekanligini isbotlaydi.
Misol. y= funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Bu erda y=u⁴, u= . Demak, y’=(u⁴)’ ’= =4u³ =8 .
Amalda (1) tenglikni
yoki y_x’=y_u’u_x’
ko‘rinishda yozib, quyidagi qoida tarzida ifodalaydi:
Murakkab funksiyaning erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha hosilasi oraliq o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan hosila va oraliq o‘zgaruvchidan erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan hosilalar ko‘paytmasiga teng.
Bu qoidani quyidagicha talqin qilish mumkin: agar berilgan nuqtada y o‘zgaruvchi u ga nisbatan y_u’ marta tez, u esa x ga nisbatan u_x’ marta tez o‘zgarsa, u holda y o‘zgaruvchi x ga nisbatan y_u’u_x’ marta tez o‘zgaradi, ya’ni y_x’=y_u’u_x’.
Yuqoridagi qoida uchta, umuman chekli sondagi hosilaga ega bo‘lgan funksiyalar kompozitsiyasi uchun ham o‘rinli. Masalan, agar y=f(u), u=(t), t=h(x) bo‘lsa, u holda y_x’=y_u’u_t’t_x’ tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Faraz qilaylik y=f(x) funksiya [a;b] kesmada monoton o‘suvchi, (a;b) intervalda y’=f’(x) hosilaga ega va x(a,b) uchun f’(x)0 bo‘lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: f(a)=, f(b)=. U holda y=f(x) funksiya uchun teskari funksiyaning mavjudligi va uzluksizligi haqidagi teorema shartlari bajariladi, chunki y=f(x) funksiyaning uzluksizligi uning hosilaga ega ekanligidan kelib chiqadi. Shunday qilib, [;] kesmada y=f(x) funksiyaga nisbatan teskari bo‘lgan x=(y) funksiya mavjud bo‘ladi.
Teskari funksiya argumenti y ga y0 orttirma beramiz. U holda x=(y) funksiya biror x=(y+y)-(y) orttirma oladi va teskari funksiyaning monotonligidan x0, uzluksizligidan esa y0 da x0 ekanligi kelib chiqadi.
Endi x=(y) funksiyaning hosilasini topamiz. Yuqorida aytilganlarni e’tiborga olsak, hosilaning ta’rifiga ko‘ra
, demak x_y’=’(y)=1/f’(x) formula o‘rinli ekan.
Shunday qilib, quyidagi teorema isbot bo‘ldi.
Teorema. Agar y=f(x) funksiya [a;b] kesmada monoton o‘suvchi, (a;b) intervalning har bir nuqtasida noldan farqli y’=f’(x) hosilaga ega bo‘lsa, u holda bu funksiyaga teskari bo‘lgan x=(y) funksiya (f(a);f(b)) intervalda hosilaga ega va y(f(a);f(b)) uchun uning hosilasi 1/f’(x) ga teng bo‘ladi.
Ushbu teorema f(x) funksiya kamayuvchi bo‘lganda ham o‘rinli ekanligini isbotlashni o‘quvchilarga qoldiramiz.
Demak, teskari funksiya hosilasini hisoblash qoidasi
(4)
formula bilan ifodalanadi.
Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari
1. y=x^ (x>0) darajali funksiyaning hosilasi Bu funksiyaning x nuqtadagi orttirmasi y=(x+x)^-x^=x^(( )^-1) ga teng va bo‘ladi. Ma’lumki, . Shuning uchun . Bundan funksiyaning x nuqtadagi hosilasi mavjud va y’=x^-1 bo‘ladi.
Demak, (x^)’=x^-1 va d(x^)=x^-1dx formulalar o‘rinli.
Murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash va differensiali formulalarini foydalangan holda, (u(x))^ ko‘rinishdagi murakkab funksiya uchun quyidagi formulalarni yozish mumkin:
((u(x))^)’=(u(x))^-1u’(x), d((u(x))^)= (u(x))^-1u’(x)dx.
Masalan y=(x²+1)³ funksiyaning hosilasini topish talab qilinsin. Bu misolda u(x)=(x²+1), =3. Demak, yuqoridagi formulaga ko‘ra
y’=3(x²+1)²((x²+1)’=3((x²+1)²2x=6x(x²+1)² bo‘ladi.
y=a^x (a>0, a1) ko‘rsatkichli funksiya uchun y=a^x+x -a^x=a^x(a^x-1) va .
Cheksiz ko’paytmalarning normal sistemasi uchun otishmalar
usulini qaraylik. Buni shunday tushuntirish mumkinki, ixtiyoriy tartibli
Cheksiz ko’paytmalar unga ekvivalent bo‘lgan oddiy differensial
tenglamalarning normal sistemasiga keltiriladi. Buni tushuntirish uchun
yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan m-tartibli oddiy differensial
tenglama uchun quydagi ikki nuqtali chegaraviy masalani misol qilib
keltiraylik:
bu yerda gi – funksiya bo‘lib, u(x) yechimning va uning hosilasining [a,b]
kesma oxirlaridagi qiymatlaridan bog‘liq.
Ushbu u1(х) = и(х), u2(х) = и'(х), ... , ит(х) = u(m-1)(х) almashtirish (1) ni quyidagi Cheksiz ko’paytmalarning normal
sistemasi ko‘rinishida yozish imkonini berdi:
yoki vektor shaklida bu yerda m o‘lchovli vektor-funksiya. (2) chegaraviy shartlarni quyidagicha yozish mumkin: masala yechimining birinchi komponentasi (1)-(2) chegaraviy masalaning izlanayotgan yechimi bo‘ladi. Xuddi shunday ixtiyoriy tartibli Cheksiz ko’paytmalar sistemasini unga ekvivalent bo‘lgan tenglamalarning normal sistemasi bilan almashtirish mumkin. Buni shunday tushuntirish mumkinki, ko‘pgina standart usullar, ularning algoritmlari va ularga mos dasturlar (4) ga o‘xshash sistemalar uchun quriladi.
Ushbu u ' F (x,u) , G (u(a))  0, a  x  b, D(u(b))  0 (6)
Cheksiz ko’paytmalar sistemasi uchun ikkinuqtali chegaraviy
masalani qaraymiz, bu yerda u , F - m o‘lchovli vektor-funksiyalar; G -
izlanayotgan u (x) yechim komponentasining x = a nuqtada qiymatidan
bog‘liq k o‘lchovli vektor; D - izlanayotgan u (x) yechim komponentasining x = b nuqtadagi qiymatidan bog‘liq m-k o‘lchovli vektor.
O‘q otish usuli bu chegaraviy masalani Koshi masalasiga keltirish
bo‘lib, hosil bo‘lgan masalani yetarlicha aniqlikda yechish imkonini
beruvchi taqribiy usullar mavjudligida. Bunday keltirish shunday p1,... ,рт qiymatlarni topishki, ushbu ui(а) = pi , і = 1,...,m, а≤ х≤ b (7)
Koshi masalasining (x,pi,...,рт) yechimi (6) chegaraviy masalani ham
qanoatlantiradi. Ko‘rinib turibdiki, shunday pi , i = 1,2,...,т qiymatlarda
ushbu chegaraviy shartlar bajarilishi lozim. Bu yerdagi noma’lum pi, i = 1,2,...,т larni quyidagicha izlash mumkin. Dastlab ushbu k ta tenglamalar sistemasidan (umumiy holda ular nochiziqli, transcendent) m-k ta parametrik yechimlar oilasini topamiz (chegaraviy masala korrekt qo‘yilgan deb faraz qilinganligi uchun u mavjud). Faraz qilaylik, soddalik uchun yechimlar oilasini quyidagicha yozish mumkin bo‘lsin:bu yerda pi , i = k+1,...,т – ixtiyoriy o‘zgarmaslar (parametrlar).
Koshi masalasining yechimi ham (6) chegaraviy
masalaning yechimi bo‘ladi, agar quyidagi tenglik bajarilsa:
(m-k) ta noma’lum pi , i = k+1,...,т parametrlarni hisoblash uchun (mk)-tartibli (11) sistema «tikish» tenglamalari deb ataladi. Odatda bunday
tenglamalar Nyuton usuli bilan yechiladi.
Xuddi shunday amal bajarish mumkin, agar m ta noma’lumga nisbatan
ushbu (m-k) ta tenglamalar sistemasining k-parametrik yechimlari oilasini
quyidagicha yozish mumkin bo‘lsa bu yerda pi , i = k+1,...,т – ixtiyoriy o‘zgarmaslar. U holda ushbu
Koshi masalasining yechimi (х,р1,... ,pk) ham (6) chegaraviy masalaning
yechimi bo‘ladi, agar pi , i = k+1,...,т lar quyidagi «tikish» tenglamalarini
qanoatlantirsa:
Ma’lumki, yuqori tartibli bo‘lmagan tenglamalar sistemasini sonli
yechish osonroq, shuning uchun (11) yoki (14) «tikish» tenglamalarini
tanlash k yoki (m-k) ning kattaligidan bog‘liq. Shuni ta’kidlaymizki, hisob imkonini bersin.
Chiziqli chegaraviy masala uchun «tikish» tenglamasi ham chiziqli
bo‘ladi. Quyida chiziqli masalalar uchun o‘rinli bo‘lgan ularni qurish
uslublari bilan tanishamiz.
Faraz qilaylik, quyidagi chiziqli chegaraviy masalaning yechimini
topish talab etilsin: u ' A(x)u  f (x), G (u (a))0, D(u (b))0. bu yerda A(x) – m × m o‘lchovli matritsa; f (x) - m o‘lchovli vektorfunksiya; k o‘chovli G (u (a)) vektor va (m-k) o‘lchovli D(u (b)) vector u (x) vektorning x = a va x = b nuqtalardagi qiymatlaridan chiziqli bog‘liq. chiziqli chegaraviy masalaning umumiy yechimini quyidagi ko‘rinishda izlaymiz:
Bu yerda u 0 (x) - quyidagi birjunsli bo‘lmagan Koshi masalasining
yechimi: u (x) vektor-funksiya (16)-(18) chiziqli chegaraviy masalaning yechimi
bo‘ladi, agar u (17) va (18) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsa. Bu shuni
bildiradiki, pi , i = 1,...,т parametrlar ushbu
m-tartibli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yechimi bo‘lishi
lozim.
Bu chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega,
chunki chegaraviy masala korrekt qo‘yilgan va bir jinsli Koshi masalasi
(21) ning yechimlari chiziqli bog‘lanmagan. Shuni ta’kidlaymizki, p1 ,…,
pm larni hisoblash uchun faqat u i (a) va u i (b) vektorlar
komponentalarining qiymatlari yetarli. Shuning uchun (20), (21)
masalalarni sonli yechishda u i (x) larning x = b nuqtadagi qiymatlarini
xotirada saqlab qolish yetarli. p1 ,…, pm larning qiymatlari hisoblangandan
so‘ng (16)-(18) chegaraviy masalaning izlanayotgan yechimi ushbu
u ' A(x)u  f (x), u (a) ( p1 ,..., pm), a ≤ x ≤ b.
Koshi masalasining yechimi bilan mos tushadi.
Yechiladigan bir jinsli Koshi masalasining sonini kamaytirish
mumkin, agar (17) chegaraviy shartlarga mos keluvchi u (a) vektorning m
(m > k) ta noma’lum komponentalariga nisbatan chiziqli algebraik
tenglamalar sistemasi ushbu ui (a)i ( pk1 ,..., pm), i = 1,…,k, ui (a)  pi, i = k+1,…,m yechimga ega va i  const bo‘lsa (ya’ni ular pi , i = k+1,…,m lardan
bog‘liq bo‘lmasa). Soddalik uchun faraz qilaylik, i  const, i = 1,…,k,
ya’ni ushbu chiziqli ikkinuqtali chegaraviy masalaning yechimini topish talab etilsin.
Cheksiz ko’paytmalarning chiziqli sistemasi (22) ning x = a
nuqtada (23) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi umumiy yechimini
quyidagi ko‘rinishda izlaymiz: (m-k)-tartibli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yechimi bo‘lishi lozim.
Barcha pk+1 ,…, pm lar hisoblab bo‘lingandan
chegaraviy masalaning izlanayotgan yechimi ushbu
Koshining barcha masalalari sonli yechiladi, shuning uchun o‘q otish
usuli qo‘llanilgandan so‘ng taqribiy yechimga ega bo‘linadi.
Nazariy jihatdan (26) tenglamalar sistemasining yechimi yagona
bo‘lishiga qaramasdan, agar (25) masalaning ui (x) yechimi sonli
yechimga juda yaqin bo‘lsa (qariyb chiziqli bog‘liq), u holda chiziqli
algebraik tenglamalar sistemasi yomon shartlashgan bo‘lishi mumkin,
ya’ni aniqlik katta miqdorda yo‘qotilishi mumkin. Agar birjinsli chiziqli
masala x bo‘yiha o‘zgarish tezligi bilan farq qiluvchi chiziqli
bo‘glanmagan yechimlarga ega bo‘lsa, bunday holda shu holat sodir
bo‘lishi mumkin. Bunga quyidagi misolni keltiramiz.
Misol. Quyidagi o‘zgarmas koeffitsiyenti to‘rtinchi tartibli tenglamali
chegaraviy masalani yechish talab qilinsin:
u(0)  0, u '(0)  0, u(1)  0.146996, u '(1)  0,0241005. Bu chegaraviy masalaning aniq yechimi: u(x)  ex  2e2x  e3x .

2.