Masalaning qo‘yilishi

Nyutonning ikkkinchi interpolyatsiya formulasi.Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi funksiyaning boshlang‘ich x₀nuqtaga yaqin nuqtalarda interpolyatsialshga qullay, lekin oxirgi x_nnuqtalar uchun esa noqulaydir.Bunday holllarda,Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasiqo‘llaniladi.

Funsiyaning argumenting teng masoflarda yotuvchi

x_p, x₁= x₀+h; x₂= x₀+2h , … , x_p= x_p+ nh.

( bu yerda h – interpolyatsiya qadami ) qiymatlarni qabul qiluvchi quyidagi qiymatlari sistamasiga ega bo‘lamiz.

y₁=f(x₀), y₂=f(x₁) , … , y_n=f(x_n) interpolyatsialanuvchi ko‘phadni yozamiz:

P_n( x₀)=a₀+a₁( x – x₀)+a₂(x – x₀)( x - x_n-1) + … +…
… + a_n( x – x_n)( x – x_n-1)( x – x₁). (1.6)


Oldingi bandagiga o‘xshash sonlarni taqribiy a₀,a₁,a₂, … … ,a_nkeffisiantlarni topamiz (1.6) ko‘phadni topilgan koeffisiantlari bilan yakuniy yozilishi quyidagi ko‘rinishgaega.

Yangi q=
P_n(x)=a₀+a₁(x - x₁) + a₂( x - x₀)( x – x₁) + . . .
...+a_n(x –x_n)(x-x_n-1)... (x-x₀) (1.7)
o‘zgaruvchi kiritmiz va (1.4) formulani qayta yozamiz

P_n(x)=y₀+
_1! q+
_2! q (q + 1)+
_3! q( q + 1 )( q + 2 ) +…

⁺ 1!
q(q+1 )(q+2)+……+(q+n–1 ). (1.8)

(1.8) formula Nyutonning ikkinchi interpolyatsiyako‘phadni ko‘rinishi. 5 – misol.y=lgx funksiyaning qiymatlari jadvaldaberilgan

x	1000	1010	1020	1030	1040	1050
y	3,00000	3,00432	3,00560	3,01283	3,01783	3,02119

lg 1044 ni toping.

Yechish.Chekli ayirmalar jadvalini tuzamiz

x	Y	y	2yi	3yi	4yi	5yi
1000 1010 1020 1030 1040 1050	3,00000 3,00432 3,00560 3,00883 3,01783 3,02119	0,00432 0,00428 0,00423 0,00420 0,00346	-0,00004 -0,00005 -0,00007 -0,00004	-0,00001 -0,00002 -0,00003	0,00001 -0,00001	- 0,00002

x x₀
1044 1050

q= _h
⁼ 10
= -0,6,

y 3,02119+

0,00416

1!

( -0,6 ) -

0,00004

2!

( -0,6)( -0,6+1 ) –

(
0,00001
0,6)
(0,6
1) (
3!
0,6
2)
- … 3,01829

2. 
   Lagranjning interpolyatsiya formulasi. Nyutonning interpolyatsiya formulasi faqat teng masofalarda yotuvchi interpolyatsion tugunlari holi uchun yaroqli.Ixtiyoriy oraliqda berilgan interpolyatsialash tugunlari uchun Lagranjning interpolyatsiya formulasi deb ataluvchi anchagina umumiyroq bo‘ladigan formuladanfoydalaniladi.
   

Aytaylik argumentning n+1 ta turli
x₀,x₁,x₂,x₃… … ,x_nqiymatlari va f(x) funksiyasi uchun malum unga mos
f(x₀) = y₀f(x₁) = y₁f(x₂) = y₂, … … ,f(x_n) = y_n
Qiymatlar berilgan berilgan bo‘lsin.Darajasi n dan yuqori bo‘lgan va berilgan x_i
tugun nuqtalarda f(x) funksiya qabul qilgan qiymatlarga ega bo‘lsa,yani

L_n(x_i) = x_i( i = bo‘lgan L_n(x_i) ko‘phadni topish talab etiladi,

^{0, n} )

Lagranjning izlanayotgan L_n(x_i) ko‘phadni keltirib chiqarganini qabulqilamiz
L_n(x_i) = (1.9)
Agar interpolyatsiyani tugunlari teng masofalarda yotsa u holda Lagranjning (1.9) interpolyatsiya formulasi Nyutonning interpolyatsiya formulasi bilan ustma – ust tushadi.
Xususan ,(1.9) formula

n=1bo‘lganda ⁰
y_{1 ;}

n = 2 bo‘lganda

ko‘rinishni oladi.

^{0 1} +


+ ^y2 ;

2. 
   Lagranj koeffisientlarni hisoblash. (1.4) formulani soddalashtiramiz.Bunda belgilashkiritamiz:
   

П_n+1(x) = ( x – x₀)( x – x₁)( x - x₂)( x – x₃), … ,( x – x_n) ; (1.10)

Hosobini tuzamiz:

П_n+1(x) = ( x – x₀)( x – x₁), … ,( x – x_i) + ( x – x₁)( x-x₂), … ,( x – x_n)+

+ ( x - x₀)( x - x₁)( x – x₂), … ,( x – x_n) + …
+ ( x – x₀)( x – x₁), … ,( x – x_i-1)( x – x_i), … ,( x – x_n) +

+ … + ( x – x₀)( x – x₁), … ,( x – x_n-1);

Bu yerda x = x_i,i =


0,n
deb xisoblab,quyidagiga ega bo‘lamiz:

П_n+1(x_i) = ( x_i- x₀)(x_i– x₁), … ,( x_i– x_i-1)( x –
- x_i+1) ... ( x_i- x_n). (1.10) va (1.11) ifodalarni (1.9) formulaga qo‘yamiz :

L_i(x)= ^yi
(1.12)

(1.12) formuladagi y_ilar oldidagi koeffisientlar Lagranj koeffisientlari deb ataladi va quyidagich belgilanildi :

n
L ^[i](x) =
Bunda Lagranjning (1.12) formulasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi :



n
L_n(x)= L ^[i](x)


Lagranj formulalarni qo‘llash uchun x_i– x_nayirmalar jadvalini tuzamiz :

0	0	1	2	3	i	n	Di	Yi	Yi/Di
0 1 2 3 … i … n	x – x0 x0– x1x0– x2x0–x3 … x0-xi … x0–xn	x1– x0 x– x1x1– x2x1–x3 … x1-xi … x1–xn	x2– x0 x2– x1x– x2x2–x3 … x2-xi … x2–xn	x3– x0 x3– x1x3– x2x– x3 … x3–xi … x1–xn	xi– x0 xi– x1xi– x2xi–x3 … x-xi … xi– xn	xn– x0 xn– x1xn– x2xn–x3 … xn-xi … x –xn	D0 D1D2D3 …. Di … Dn	y0 y1y2y3 … yi … yn	y0/D0 y1/D1y2/D2y3/D3 … yi/Di … yn/Dn

Jadvaldagi D₀, D₁, D₂, D₃, … , D_n– mos ravishdagi satrlar ko‘paytmasi. D_i= ( x_i– x₁) ( x_i– x₂) ( x_i– x₃) … ( x – x_i) … ( x_i– x_n)
П_n+1(x) – ostiga chizilgan diognal ko‘paytmasi.
П_n+1(x) = ( x – x₀) ( x – x₁) ( x – x₂) … ( x – x_i) … ( x – x_n) Demak

n
va koeffsientlari topiladi Demak,
L ^[i](x) =
П_{n 1} (x) D_i
, i =

0, n

L_n(x)=П_n+1(x) ,

bu yerda
= S_n+1– jadvalning oxirgi ustunlari yig‘indisi.Shunday qilib, L_n(x) = П_n+1(x) S_n+1.

6 – misol.f(x) funksiyaning qiymatlari jadvalda berilgan

X	81	85	87	88	89	90
Y	0,12346	0,11765	0,011494	0,011364	0,011236	0,011111

xi	xi-x0	xi-x1	xi-x2	xi-x3	xi-x4	xi-x5	Di	yi	Yi/Di
81 85 87 88 89 90	2 4 6 7 8 9	-4 -1 2 3 4 5	-6 -2 -3 1 2 3	-7 -3 -1 -4 1 2	-8 -4 -2 -1 -5 1	-9 -5 -3 -2 -1 -6	-36287 -480 216 -168 320 -1620	0,12346 0,11765 0,011494 0,011364 0,011236 0,011111	-0,34026*10^-6 -0.2451*10^-6 -0,53219*10^-6 -0,67642*10^-6 -0,35112*10^-6 -0,68582^*10^-6

f(84) = П_nS_n= -1080( -1)0,36676 10^-4= 0,0112

2. 
   Interpolyatsiya formulalari xatoliklarni baholash. Biz x₀,x₁,x₂, … ,x_nnuqtalarda berilgan y₀,y₁,y₂, … ,y_nqiymatlarni qabul qiluvchi ( bunda y₀= f(x₀),y₁= f(x₁), … ,y_n= f(x_n). f(x) funksiya uchun Lagranjning L_n(x) interpolyatsiya ko‘phadi tuzildi.Tuzilgan kko‘phad qolgan nuqtalarda f(x) funksiyasini hosil qiladi,yani R_n(x)=f(x)-L_n(x ) qoldiq had qanchalikkatta.
   

Bu savolga quyidagi teorema javob beradi:
Teorema:Agar y=f(x) funksiya o‘zining (n+1) tartibi ((n+1) tartiblisi ham) barcha hosillari bilan birga uzluksiz bo‘lsa,u holda Lagranjning qoldiq hadi quyidagiga teng bo‘ladi.
R_n(x)= ^Пn1(x)


Bu yerda f – x₀va x nuqtalar orasida joylashgan nuqta. П_n+1(x) = ( x – x₀) ( x – x₁) ( x – x₂) … ( x – x_i) … ( x – x_n).
Agar (x₀– x) kesmada M – yuza (fⁿ⁺¹(x)) deb belgilasak,u holda Lagranjning interpolyatsiya formulasini ifodasini absolyut qiymati uchun quyidagiga egabo‘lamiz:

M
|R (x)<
П_{n 1} (x) _|

ⁿ n 1
Agar x₀,x₁,x₂, … ,x_ninterpolyatsiya tugunlari teng masofalarda joylashgan va bunda

x₂=x₁– h bo‘lsa,u holda (1.12) formulada formulasini qoldiq hadiga ega bo‘lamiz.
=h deb faraz qilib,Nyutonningbirinchi

R_n(x)=hⁿ⁺¹

_f n 1
( )
bu yerda x₀< n

Shunga o‘xshash (1.13) formulada q= qoldiq hadiga ega bo;lamiz.

R_n(x)=hⁿ⁺¹

deb faraz qilib Nyutonning 2 – formulasini


_f n 1
( )

Isbotlash mumkin agar inyerpolyatsiyakashda interpolyatsiyalash tugunlari x ning zarur qiymatlari atrofida yetarlicha zich joylashtirilsa,u holda interpolyatsiyaformulasidan olingan qiymatlar,jadval malumotlarnecha xonaga ega bo‘lsa shuncha xona birligida aniqlikga egabo‘ladi.

Matematik hisoblashlar:

Berilgan variantdagi jadval uchun Lagranj formulasini qo‘llaymiz. x_i:0.68,0.73,0.80,0.88,0.93,0.99
y_i: 0.80866,0.89492,1.02964,1.20966,1.34087,1.52386

x=0.774 1)
p=1 p=1*
p=-1.93*



p=0.902*



p=-0.0902* -0,01461



p=-0.01461* -0,00574

l=l+p*y₁=0+(-0.00574)* 2.73951=-0,01573

2)

p=1


p=1* 2,9333

....

l ...
Nyuton interpolyatsiyasi formulasi:

x_i: 0.68,0.73,0.80,0.88,0.93,0.99

y_i: 0.80866,0.89492,1.02964,1.20966,1.34087,1.52386 x=0.774

k=1 da
p=p*(x-x_k-1)=1*(0.526-0.35)=0.176
i=0 da
bo‘yicha
=-7.3118





. . .
l=l+p*y₀bo‘lgani uchun l=2.73951+0.176*(-7.3118)=1.452627
k=2 da
p=p*(x-x_k-1)= p*(x-x₁)=0.176*(0.526-0.41)=0.020416
i=0 da
bo‘yicha
=-3.9338819

. . .
l=1.452627+0.020416*(-3.9338819)=1.372313
...
k= 5 da
l ...
natijaga ega bo‘lamiz
Lagranj usuli algoritmini blok – sxema ko’rinish.

Lagranj usulini C++ dasturlash tilidagi ifodasi.

#include #include #include

int main()
{
float x1[6]= {0.68, 0.73, 0.80, 0.88, 0.93, 0.99},
y1[6]= {0.80866, 0.89492, 1.02964, 1.20966, 1.34087, 1.52386};
float x,l,p; shortinti,j; clrscr(); cout<<"Interpolyatsilanuvchi son,x="; cin>>x; l=0; for (i=0; i<=5;i+=1)
{p=1;
for (j=0; j<=5; j+=1)
{ if (i!=j)
p=p*(x-x1[j])/(x1[i]-x1[j]);
}
l=l+p*y1[i];
}
cout.precision(5);
cout<<"Lagranj usulida Interpolyatsilangan son y="<}

Dasturning natijasi:

Nyuton usuli algoritmini blok – sxema ko’rinish.

Nyuton usulini C++ dasturlash tilidagi ifodasi.

#include #include void main()

{
float x0[6]= {0.68, 0.73, 0.80, 0.88, 0.93, 0.99},
y0[6]= {0.80866, 0.89492, 1.02964, 1.20966, 1.34087, 1.52386};
float x,l,p; short int i,j,n,k; clrscr();
cout<<"Interpolyatsilanuvchi son, x="; cin>>x;
l=y0[0];
p=1; n=5;
for (k=1; k<=n; k+=1)
{
p=p*(x-x0[k-1]);
for (i=0; i<=n-k; i+=1)
{
y0[i]=(y0[i+1]-y0[i])/(x0[i+k]-x0[i+k]-x0[i]);
}
l=l+p*y0[0];
}
cout.precision(5); cout<<"Interpolyatsilangan son N="<}

Dasturning natijasi:

Kurs ishi masalasi bo’yicha xulosa

Ushbu kurs ishimda men ko‘phadlarni interpolyatsiya usulida yechishning Lagranj va Nyuton usullarni o‘rgandim va amaliy ko‘nikmalarga ega bo‘ldim.

Berilgan qiymatlardagi ko‘phadlarnipaskal tilidan (interpolyatsiyani Lagranj usuli) natijalarim ko‘phadlarni ayni shu oraliqda chiqqan natijasiga taqriban teng chiqdi. Lagranj vaNyuon usullari to‘g‘ri keltirib chiqarilganiga guvoh bo‘ldim.Yanashuni takidlab o‘tish kerakki Lagranj usulida chiqarilgan yechim Nyuton usulida chiqarilgan yechimdan aniqroq bo‘ldi, chunki Lagranjusulida ko‘phadlarniinterpolyatsion tugunlari oralig‘i funksiya qiymatinianiqligiga katta tasirqilmaydi.
Demak bizga samaraliroq bo‘lgan Lagranj usulida keng ravishda dasturda qo‘llasak o‘zni talab darajasida oqlay oladi.
Nyuton usuli esa o‘zaro teng oraliqdagi ko‘phadlarni hisoblashda yaxshifoydasini
beradi.

Paskal ancha murakkab va ko‘p vaqt oladigan hisob ishlarini bajarishda mo‘ljallangan tarkiblashtirilgandasturlar tuzishda imkon beradi.Yana bir avzalligi shundan iboratki foydalanuvchi xatolikga yo‘l qo‘ymasligi uchun yoki xato yechib qo‘ygan bo‘lsa , tez tuzatib olish uchun dasturda ishlatilgan o‘zgaruvchilar oldindan qaysi turga mansubligi belgilab qo‘yilgan bo‘ladi.Shu bilanbirga dasturning barcha elementlarihaqida ma‘lumot tavsiflash bo‘limida mujasamlashganbo‘ladi operatorlar esa imkon darajasda kamaytirilgandir.

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati.

1. 
   Yo. U. Soatov ― Oliy matematika ‖ 2-tom,5-tom.
   

2. 
   T. X. Xolmatov ― Informatika ‖darslik.
   

3. 
   Л. И. Турчак ― Основны численных методов‖.
   

Москва << Наука >> 1987 год.

4. 
   Internet saytlari:www.google.uz
   

www.ref.uz


www.algolist.ru