Matematikada aksiomatik metod kadimgi yunon matematiklarining ishlarida paydo buldi. Bu borada evklidning “Negizlar” deb ataluvchi geometrik sistemasi aloxida eotiborga loyik. evklidning bu asar XIX asrgacha aksiomatik metodning yuksak namunasi sifatida xizmat kildi. Eramizda 300 yil oldin yozilgan bu asarda evklid 1- marta aksiomalar deb ataluvchi va rostligi shubxa tugdirmaydigan bir kancha muloxazalardan sof deduktiv yul bilan, yaoni sof logik (mantikiy) muloxazalar yordamida gemetrik nazarning butun mazmunini keltirib chikarish mumkinligini ukrsatgan.
XIX asrda buyuk rus matematigi N.I Lobachevskiy va venger matematigi Ya. Bolgyai tomonidan noyovalid gemetriyaning kashf etilishi aksiomatik metodning rivojlanishiga yangi pogona buldi.
Ular evklid geometriyasi aksiomalari sistemasiga kiruvchi( // tugri chiziklar xamdagi) V postulatni uning inkori bilan almashtiruvchilar va natijada xosil bulgan aksiomalarning yangi sistemasi keng mazmunga ega bulgan yangi geometriya tashkil etilishini kursatdilar.
Shuningday kilib aksiomatik metod matematik nazariyalarni kurish va urganishda kuchli apparat ekanligi XIX asr matematiklari tomonidan tula- tekis eotirof etildi va bu apparat matematikada keng kulamida kullanila boshlandi.
Aksiomatik metodning mazmuni nimadan iborat.
Odatda , kandaydir predmetlar sistemasini urganishda bu predmetlarning xossalari va ular orasidagi munosa atlarni bildiruvchi terminlardan foydalanamiz.
O , O , ... O lar shunday xossa va munosabatlar bulsin. Shu xossa munosabatlarni uz ichiga olgan bir necha muloxazalarni olamiz xamda ularni aksiomalar deb ataymiz.
Tabiyni shunday tuplam mavjud bulishi mumkinki, R, R, ... R larni bu tuplasmda aniklasak, u xolda bu tuplam elementlari yukoridagi aksiomalar sistemasini kanoatlantiradilar. Baozi aksiomalar sistemasi uchun bunday ( bush bulmagan) tuplamlarning topilmasligi xam tabiiydir.
Masalan, kuyidagi munosabatni olaylik:
R(x,u) : “ x udan oldin keladi”
Bu munosabatni xar xil tuplamlarda xar xil aniklash mumkin. Odamlar tuplamida x u dan oldin baland x u dan engil, x ning yoshi uning yoshidan kichik va xakozo, natural sonlar tuplamida esa
x>y, xMazkur munosabatni uz ichiga olgan kuyidagi aksiomalarni olaylik:
Xar kanday x uz- uzidan oldin kelmaydi.
Xar kanday x, u, z lar uchun agar x udan oldin kelsa va u z dan oldin kelsa u xolda x z dan oldin keladi.
Ravshanki, shunday bush bulmagan tuplam topish mumkinki, agar undan R(x,u) munosabatni etarlicha “yaxshi” aniklasak, bu tuplamning elementlari yukoridagi keltirilgan tuplamlar va munosabatlar) Bundan tashkari yukoridagi aksioimalarni kanoatlantiruvchi tuplamlar yagona emasligini sezish kiyin emas.
Shunday kilib, xar birida bitta munosabat aniklangan va elementlari 1) va 2) aksiomalarni kanoatlantiruvi tuplamlar maolum bir sinfni tashkil etadi. U xolda bu aksiomalarni mazkur sinfga kirgan tuplamlarning Ta`rifi deb karash mumkin.
Barcha oboektlar( predmetlar) tuplamdan 1) va 2) aksiomalar yordamida olingan bunday tuplamlar berilgan aksiomalar sistemasining interpretatsiyasi deyiladi.
Biror matematik nazariyani aksiomatik kurish bu nazariyada urganiladigan asosiy oboektlar va ular orasidagi munosabatlarni keltirishdan boshlanadi.
Bu oboektlar va munosabatlar aksiomatik nazariyaning asosiy tushunchalari deyiladi. Aksiomatik nazariyaning kolgan tushunchalari esa asosiy tushunchalar orkali Ta`riflanadi; sungra aksiomatik nazariyaning tugri tuzilgan formulalari tuplami xosil kilinadi, va bu tuplamning baozi formulalari aksiomalar deb eolon kilinadi. Aksiomatik nazariyaga uning aksiomalar sistemasidan yangi keltirib chikariluvchi formulalar ( teoremalar) ni xosil kilish vositasi bulgan keltirib chikarish koidalari kiritligach, bu nazariya deduktiv ( keltirib chikarish) nazariyaga aylanadi. Aksiomalar sistemasidan xosil kilinadigan barcha formulalar tuplami aksiomatik sistemasining mazmunini yoki tilini tashkil kiladi.
evklid geometriyasi keng maonoda karaladi. evklid geometriyasidan farki bulgan barcha geometrik sistemalar torrok maonoda tushuniladi. Noevklid geometriyais deganda Labochevskiy gelometriyasi va Raman geometriyalari tushuniladi. Labochevskiy geometrisi uzining aksiomatikasi buyicha evklid geometriyasidan fakat parallelik aksiomasi bilan fark kiladi. evklidning parallelik aksiomasi bunday Ta`riflanadi; tugri chizikda yotmagan nukta orkali berilgan tugri chizik bilan bir tekislikda yotgan va uni kesmaydigan fakat birgina tvgri chizik utkazish mumkin. Labochevskiy geometriyasida bunday tugri chiziklardan eng kami da ikkitasi mavjud deb karaladi, sungra esa bunday tugri chiziklar cheksiz kup ekanligi isbot kilinadi. Riman geometriyaisda esa bir tekislikda yotgan ikkita tugri chizik kesishadi, deb aksiomatik ravishda kabul kilinadi. Noevklid geometriyani bir- biridan fark kiluvchi boshka aksiomalar xam mavjud ( tartib aksiomasi, tugri chizik nuktalarining taksimlanishi) evklid va Labochevskiy geometriyalarida nuktalarning tugri chizikda joylanishi chizikli, yaoni xikikiy sonlar tuplamining joylanishiga
mosdir. Riman geometriyasida esa tugri chizikda nuktalarning aylanada joylanishiga mos keladi. Labochevskiy geometriyasida uchburchak ichki burchaklarining yigindisi 2 tugri burchakdan kichik. Riman geometriyasida uchburchak ichki burchaklarining yigandisi ichki tugri burchaklardan katta. evklid geometriyasida esa bu yigindi ikki tugri burchakka teng. Labachevskiy geometrichisda uchburchakning yuzi S=R (
) formula bilan ifodalanadi, bunda - uchburchakning burchaklari, R- yuzlarning ulchov birliklari tanlanishiga boglik biror uzgarmas mikdor. Riman geometriyasida uchburchakning yuzi S= R kurinishga ega. evklid geometriyaisda esa uchburchakning yuzi bilan uning burchaklari yigindisi urtasida xech kanday boglanish yuk.
Maktab matematika kursida yakuniy darsisifatida ukv materiyalni mantikiy kismlarga ajratishni karash mumkin. Bu xol matematik julalarning kursda tutgan urin va rolini o`quvchilar ongli ravishda egallashlariga yordam beradi.
