Маърузалар матни 1-мавзу. Эҳтимоллар назариясининг предмети ва унинг иқтисодий, техник масалалар учун аҳамияти. Эҳтимоллик фазоси

Такрорлаш ва назорат учун саволлар:

1. 
   Қандай ҳодисалар биргаликда бўлмаган, қайсилари эса бирга-ликда бўлган ҳодисалар деб аталади?
   
2. 
   «А ҳодиса ўзидан кейин В ҳодисани келтириб чиқаради (эр-гаштиради)» деган ибора нимани билдиради ва у қандай белги-ланади?
   
3. 
   Ҳодисаларнинг йиғиндиси деб нимага айтилади ва у қандай белгиланади?
   
4. 
   Ҳодисаларнинг кўпайтмаси деб нимага айтилади ва у қандай белгиланади?
   
5. 
   Қарама-қарши ҳодиса нима ва у қандай белгиланади?
   
6. 
   Ҳодисаларнинг айирмаси деб нимага айтилади ва у қандай белгиланади?
   
7. 
   Қандай ҳодисалар боғлиқмас, қайсилари эса боғлиқ ҳодисалар деб аталади?
   
8. 
   Шартли эҳтимоллик нима ва унинг формуласи қандай?
   

3. Эҳтимолликларни қўшиш ва кўпайтириш теоремалари. Тўла эҳтимоллик ва Байес формулалари


А ва В ҳодисалар биргаликда бўлмасин ҳамда уларнинг эҳ-тимолликлари берилган бўлсин. Ё А, ё В ҳодисанинг рўй бериши, яъни бу ҳодисаларнинг йиғиндиси А+В нинг эҳтимоллигини қан-дай топиш мумкин? Бунга қуйидаги теорема жавоб беради.
3.1-теорема (биргаликда бўлмаган ҳодисаларнинг эҳти-молликларини қўшиш). Иккита биргаликда бўлмаган ҳодиса-лар йиғиндисининг эҳтимоллиги бу ҳодисалар эҳтимолликлари-нинг йиғиндисига тенг:
. (3.1)
Исбот. Қуйидаги белгилашларни киритамиз:
— элементар ҳодисаларнинг умумий сони;
— А ҳодисанинг рўй беришига қулайлик туғдирувчи эле-ментар ҳодисалар сони;
— В ҳодисанинг рўй беришига қулайлик туғдирувчи эле-ментар ҳодисалар сони.
Ё А, ё В ҳодисанинг рўй беришига қулайлик туғдирувчи эле-ментар ҳодисалар сони га тенг. Шунинг учун

бўлади.
ва эканлигини эътиборга олиб,

ни оламиз.
3.1-натижа. Бир нечта биргаликда бўлмаган ҳодисалар йи-ғиндисининг эҳтимоллиги бу ҳодисалар эҳтимолликларининг йи-ғиндисига тенг:
. (3.2)
1-мисол. Қутида 30 та шар бор, улардан 10 таси қизил, 5 та-си кўк ва 15 таси оқ. Рангли шар чиқишининг эҳтимоллиги то-пилсин.
Ечиш. Рангли шарнинг чиқиши ё қизил, ё кўк шарнинг чи-қишини билдиради.
Қизил шар чиқиши (А ҳодиса)нинг эҳтимоллиги га тенг. Кўк шар чиқиши (В ҳодиса)нинг эҳтимоллиги эса га тенг.
А ва В ҳодисалар биргаликда бўлмаган ҳодисалардир (бирор рангдаги шарнинг чиқиши бошқа рангдаги шарнинг чиқишини истисно қилади), шунинг учун қидирилаётган эҳтимоллик
бўлади.

Қарама-қарши ҳодисалар биргаликда муқаррар ҳодисани ташкил этгани учун 3.1-теоремадан

эканлиги келиб чиқади, шу сабабли
. (3.3)
2-мисол. Кун давомида ёғингарчилик бўлишининг эҳтимол-лиги га тенг. Кун очиқ бўлишининг эҳтимоллиги топил-син.
Ечиш. «Кун давомида ёғингарчилик бўлади» ва «Кун очиқ» ҳодисалари қарама-қарши ҳодисалардир, шунинг учун қидирила-ётган эҳтимоллик га тенг.

(2.1) формуладан қуйидаги теоремани оламиз.