Ma’ruzalar kursi

5-ma’ruza

O’rtacha miqdorlar. Moda va mediana.

Reja:

1. 
   O’rtacha miqdor, uning mohiyati.
   
2. 
   O’rtacha miqdor turlari:
   

a) o’rtacha arifmetik.

b) o’rtacha garmonik.

3. 
   O’rtachani turini tanlash.
   
4. 
   O’rtachaning matematik xususiyatlari.
   
5. 
   Moda va mediana.
   

O’rtacha miqdor deyilganda bir turdagi (xildagi, tipdagi) xodisaning o’zgaruvchan belgilari asosida umumlashtirib ta’riflovchi miqdor, ko’rsatkich tushuniladi. O’rtacha miqdorning xususiyati shundaki, u to’plamning umumiy darajasini yoki undagi ayrim birliklarning darajasini tavsiflamasdan, balki o’rganilayotgan belgi umumiy darajasining to’plam birliklariga bo’lgan nisbatini ifodalaydi.

O’rtacha miqdorni xisoblashda quyidagi asosiy qoidalaraga rioya qilish lozim:

a) o’rtalashtiralayotgan yakka miqdorlar bir xil turdagi to’plamga xos bo’lishi va mohiyatlari jihatdan tubdan farq qilmasligi shart, miqdoran esa bir-biridan tafovutda bo’lib, ularning soni yetarlicha ko’p bo’lishi lozim.

b) o’rtacha miqdorlar yetarli darajada ulkan bo’lgan bir turdagi ommaviy to’plamlar uchun hisoblanishi kerak.

v) o’rtacha miqdor faqatgina umumiy to’plam uchun hisoblanmasdan, balki to’plamning ayrim guruhlari, qismlari (bo’laklari) uchun ham hisoblanishi kerak.

g) o’rtacha hisoblanishi lozim bo’lgan belgi muhim bo’lishi kerak. Aks holda o’rtacha ham ahamiyatsiz bo’lib qoladi.

Oddiy arifmetik o’rtacha o’rtalashtirilayotgan belgi miqdorlari (variantlari) bir yoki teng marta takrorlangan paytda qo’llanadi. Uni aniqlash uchun dastlab o’rtalashtirilayotgan alohida miqdorlar (X) yig’indisi (Σ) aniqlanadi, so’ngra olingan natija ularning soni (f)ga bo’linadi. Buni quyidagicha yozish mumkin:

Ma’lumotlar variatsion qator ko’rinishida keltirilgan bo’lsa, u holda o’rtacha miqdorni hisoblash uchun:

1. 
   ishlab chiqarilgan mahsulotning yakka miqdorlari (X) ishchilar soni (f)ga ko’paytirib chiqiladi (Xf);
   
2. 
   ko’paytma yig’indisi aniqlanadi (ΣXf);
   
3. 
   aniqlangan yig’indi (ΣXf) ishchilarning umumiy soniga (f) bo’linadi.
   

Natijada quyidagi formula bilan ularning o’rtacha darajasi o’rtasidagi tafovut yig’indisi doimo nolga teng:

Agar belgining alohida miqdorlaridan qandaydir “A” sonni ayirsak, yoki ularga qandaydir “A” sonni qo’shsak, so’ngra o’rtachani hisoblasak, u holda bu o’rtacha haqiqiy o’rtachadan “A” songa kichik yoki katta bo’ladi:

Haqiqiy o’rtachani topish uchun hisoblangan o’rtacha “A” sonni qo’shish yoki undan “A” sonni ayirish kerak:

a) agar belgining alohida miqdorlarni qandaydir “A” songa bo’lsak yoki ko’paytirsak, so’ngra o’rtachani hisoblasak, u holda bu o’rtacha haqiqiy o’rtachaga nisbatan “A” marta kichik yoki katta bo’ladi:

Haqiqiy o’rtachani topish uchun hisoblangan o’rtachani “A” songa ko’paytirish yoki ikkinchi holda esa “A” songa bo’lish kerak;

b) agar alohida miqdorlarning vaznini, uchrashish tezligi (f)ni qandaydir “A” songa ko’paytirsak yoki bo’lsak, so’ngra o’rtachani hisoblasak, bu o’rtacha o’zgarmaydi:

Bu xossa shuni ko’rsatadiki, o’rtacha vazn hajmiga (soniga, miqdoriga) emas, balki ular o’rtasidagi nisbatga (salmoqqa) bog’liq. SHuning uchun ham hajm vazifasini faqatgina mutlaq miqdorlar emas, balki tuzilma nisbiy miqdorlari ham bajara oladi.

Yuqoridagi xossalarga asoslangan holda o’rtachani hisoblashni ancha soddalashtirish mumkin. Biz bu holatni o’rtacha shartli moment usulida hisoblash misolida ko’rib chiqamiz. Bu usulda berilgan alohida miqdorlardan (X) qandaydir o’zgarmas “A” soni (odatda qator o’rtasidagi son) ayrilib, olingan natija “V” songa (qator oralig’i miqdoriga) bo’linadi. Natija Y΄ qatori hosil qilinadi:

So’ngra yangi qator Y΄ uchun o’rtacha miqdor hisoblanadi:

Hisoblangan o’rtachani o’zgarmas “V” songa ko’paytirib, so’ngra unga “A” sonni qo’shsak, haqiqiy o’rtacha kelib chiqadi:

Ayrim hollarda belgining alohida variantlari (X) ma’lum bo’la turib, ularning vaznlari (f) noma’lum va f lar o’rniga esa X bilan f ning ko’paytmasi (X·f) keltirilgan bo’ladi. Bunday hollarda o’rtachani hisoblash uchun o’rtacha garmonik formulasi qo’llaniladi.

Statistikada o’rtacha garmonik miqdor o’rtalashtirilayotgan miqdorlarning teskari darajalari asosida hisoblangan o’rtacha arifmetikning teskari darajasiga tengdir. O’rtacha garmonik ham oddiy va tortilgan formulalarga ega.

Agar X·f ko’paytmasi hamma variantlar uchun bir xil bo’lsa (yoki w=1 bo’lsa), u holda o’rtachani hisoblash uchun o’rtacha oddiy garmonik formula qo’llaniladi:

;

bu yerda: n – vazn, alohida miqdorlar soni;

- alohida miqdorlar teskari darajalarining yig’indisi.

O’rtacha tortilgan garmonik miqdor o’rtalashtirilayotgan miqdorlar har xil vaznga (f) ega bo’lgan taqdirda qo’llaniladi va quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

Aniq sharoitda o’rtacha arifmetik yoki o’rtacha garmonik formulani qo’llash quyidagi holatlarga bog’liq. Ma’lumki, har qanday o’rtacha miqdor ikkita ko’rsatkichning bir-biriga bo’lgan nisbatidan yuzaga chiqadi. Birinchi ko’rsatkich o’rtalashtirilayotgan belgining umumiy hajmini ifodalasa, ikkinchi ko’rsatkich o’rtalashtirilayotgan belgining miqdorini (sonini, vaznini, uchrashish tezligini) belgilaydi. Agar belgining hajmini ifodalovchi ma’lumot (ya’ni nisbatning surati) va belgining alohida darajalari ma’lum bo’lsa, u holda o’rtacha miqdor o’rtacha garmonik formula yordamida hisoblanadi.

Agar belgining miqdorini ifodalovchi ma’lumot (ya’ni nisbatning maxraji) va belgining alohida darajalari ma’lum bo’lsa, u holda o’rtacha miqdor o’rtacha arifmetik formula yordamida hisoblanadi.

Agar belgining hajmi va miqdori ma’lum bo’la turib, alohida darajalari noma’lum bo’lsa, u holda ham o’rtacha miqdor arifmetik (oddiy) formula yordamida hisoblanadi.