Ma’ruza: Теylor vа Маkloren qatorlari. Funktsiyalarni Makloren qatoriga yoyish. Binomial qator. Funksiyalarni darajali qatorga yoyish Reja

4. Musbat hadli qatorlar yaqinlashishining yetarli belgilari
1) Qator yaqinlashishining taqqoslash belgisi



qatorlar uchun

tengsizliklar hamma lar uchun bajarilib: (6) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, (5) qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va uning yig‘indisi (6) qator yig‘indisidan katta bo‘lmaydi; (5) qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, (6) qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
2-misol.
qator yaqinlashishini tekshiring.
Yechish. Berilgan qatorni

qator bilan taqqoslayimz. Ma’lumki, keyingi qator maxraji ga teng bo‘lgan geometrik progressiya bo‘lib, yaqinlashuvchidir. Hamma lar uchun,

tengsizliklar bajariladi, demak taqqoslash belgisiga asosan, berilgan qatorning ham yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
2). Dalamber belgisi. Musbat hadli

qator berilgan bo‘lsin.

limit mavjud bo‘lib:
bo‘lsa, qator yaqinlashuvchi;
bo‘lsa, qator uzoqlashuvchi;
bo‘lsa, qator yaqinlashuvchi ham uzoqlashuvchi ham bo‘lishi mumkin, bunday hollarda qatorni boshqa belgilardan foydalanib tekshirish kerak bo‘ladi.

3) Koshi belgisi

musbat hadli qator berilgan bo‘lib,

limit mavjud va
bo‘lsa, qator yaqinlashuvchi;
bo‘lsa, qator uzoqlashuvchi;
bo‘lsa, qator yaqinlashuvchi ham, uzoqlashuvchi ham bo‘lishi mumkin, bu holda Koshi belgisi savolga javob bermaydi.
4) Qator yaqinlashishining integral belgisi



musbat hadli qator berilgan bo‘lsin.
natural argumentli funksiya tuzamiz. uzluksiz, musbat va kamayuvchi funksiya bo‘lsin.

xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, berilgan qator ham yaqinlashuvchi, xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘lsa, qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
6-misol.
qator yaqinlashishini tekshiring.
Yechish. funksiyani tuzib, ushbu xosmas integralni hisoblaymiz:

Demak, xosmas integral uzoqlashuvchi, integral belgiga asosan, garmonik qator ham uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.