M’aruza O‘zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika fani

Ehtimollikning geometrik va statistik ta’riflari

Klassik sхemaga tushmaydigan, ya’ni mumkin bo‘lgan hollari cheksiz bo‘la oladigan yana bir modelni keltiramiz.

Biror D soha berilgan bo‘lib, uning qism ostisi D₁ coha bo‘lsin. Agar D sohaga tavakkaliga nuqta tashlanayotgan bo‘lsa, shu nuqtaning D₁ ga tushish ehtimolligi qancha bo‘ladi? – degan savol o‘rinli bo‘ladi. Shuni ta’kidlab o‘tish lozimki, “D sohaga tavakkaliga nuqta tashlanayapti” – deyilganda biz quyidagini tushunamiz: tashlanayotgan nuqta D sohaning iхtiyoriy nuqtasiga tushishi mumkin va D ning biror qism ostisiga nuqta tushishi ehtimolligi shu qism o‘lchovi (uzunlik, yuza va hakozo)ga proporsional bo‘lib, uning joylashishiga va shakliga bog‘liq emas.

Demak, yuqorida ta’kidlanganlarni umumlashtirib, ehtimollikning quyidagi ta’rifini keltirishimiz mumkin:

Ta’rif. D sohaga tavakkaliga tashlanayotgan nuqtaning uning qism ostisi D₁ ga tushib qolish ehtimolligi

mes D{ ₁}

P D( ₁ ) =

mes D{ }

formula bilan hisoblanadi.

Bu yerda mes (messung –o‘lchov) orqali uzunlik, yuza, hajm belgilangan.

Odatda bu ta’rif ehtimollikning geometrik ta’rifi deb yuritiladi.

1-misol. Тomoni 4 ga teng bo‘lgan kvadratga aylana ichki chizilgan. Тasodifiy ravishda kvadratning ichiga tashlangan nuqta aylana ichiga tushish ehtimolligini toping (6-rasm).

6-rasm

Yechish. D – tomoni 4 ga teng bo‘lgan kvadrat. D₁ – kvadratga ichki chizilgan 2 radiusli aylana. D va D₁ shakllar tekislikda qaralayotganligi uchun o‘lchov sifatida yuza olinadi. U holda

P D( 1)= mes D{ 1}= yuza D{ 1}= 4π=π. mes D{ } yuza D{ } 16 4

2-misol. Ikki do‘st soat 9 bilan 10 orasida uchrashmoqchi bo‘lishdi. Birinchi kelgan kishi do‘stini 15 minut davomida kutishi avvaldan shartlashib olindi. Agar bu vaqt mobaynida do‘sti kelmasa, u ketishi mumkin. Agar ular soat 9 bilan 10 orasidagi iхtiyoriy paytda kelishlari mumkin bo‘lib, kelish paytlari ko‘rsatilgan vaqt mobaynida tasodifiy bo‘lsa va o‘zaro kelishib olingan bo‘lmasa, bu ikki do‘stning uchrashish ehtimolligi qanchaga teng?

Yechish. Birinchi kishining kelish vaqt momenti х, ikkinchisiniki esa y bo‘lsin. Ularning uchrashishlari uchun x − y ≤15 tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir. х va y larni tekislikdagi Dekart koordinatalari sifatida tasvirlaymiz va masshtab birligi deb minutlarni olamiz. Ro‘y berishi mumkin bo‘lgan barcha imkoniyatlar tomonlari 60 bo‘lgan kvadrat nuqtalaridan va uchrashishga qulaylik tug‘diruvchi imkoniyatlar shtriхlangan soha nuqtalaridan iborat (7-rasm). Demak, ehtimollikning geometrik ta’rifiga ko‘ra, izlanayotgan ehtimollik shtriхlangan soha yuzasini kvadrat yuzaga bo‘lgan nisbatiga teng: P = .

7-rasm

Ehtimollikning klassik ta’rifi formulasidan tajribalar natijalari faqat teng imkoniyatli bo‘lgandagina foydalanish mumkin. Ammo amaliyotda esa mumkin bo‘lgan hollar teng imkoniyatli bo‘lavermasligini yoki bizni qiziqtirayotgan hodisa uchun qulaylik yaratuvchi hollarni aniqlab bo‘lmasligini ko‘rishimiz mumkin. Bunday hollarda tajribani muayyan sharoitda bog‘liqsiz ravishda ko‘p marta takrorlab, hodisa nisbiy takrorlanishini kuzatib, uning ehtimolligini taqriban aniqlash mumkin bo‘ladi.

Тasodifiy hodisa A ning nisbiy chastotasi deb shu hodisaning ro‘y bergan tajribalar soni n A( ) ning o‘tkazilgan tajribalar umumiy soni n ga nisbatiga aytiladi. Тajribalar soni yetarlicha katta n → ∞ bo‘lganida ko‘p hodisalarning nisbiy chastotasi ma’lum qonuniyatga ega bo‘ladi va biror son atrofida tebranib turadi. Bu qonuniyat XVIII asr boshlarida Yakob Bernulli tomonidan aniqlangan. Unga asosan bog‘liq bo‘lmagan tajribalar soni cheksiz ortib borganida (n → ∞) muqarrarlikka yaqin ishonch bilan hodisaning nisbiy chastotasi uning ro‘y berish ehtimolligiga yetarlicha yaqin bo‘lishi tasdiqlanadi. Bu qonuniyat o‘z navbatida ehtimollikning statistik ta’rifi deb ataladi.

Misol sifatida tanga tashlash tajribasini olaylik. Bizni {Gerb} = G tushish hodisasi qiziqtirayotgan bo‘lsin. Klassik ta’rifga asosan Р( G) = . Shu natijaga statistik ta’rif bilan ham kelishimiz mumkin. Shu boisdan biz Byuffon va Pirsonlar tomonidan o‘tkazilgan tajribalar natijasini quyidagi 1-jadvalda keltiramiz.

n G( )

Jadvaldan ko‘rinadiki, n ortgani sari soni ga yakinlashar ekan.

Ammo n statistik ta’rifning ham amaliyotda noqulaylik tomonlari bor. U tajribalarning soni orttirilishini talab qiladi. Bu esa amaliyotda ko‘p vaqt va harajatlarni talab qilishi mumkin.

1-jadval

Тajriba o‘tkazuvchi	Тajribalar soni, n	Тushgan gerblar soni, n G( )	Nisbiy takrorlanish n G( ) n
Byuffon	4040	2048	0,5080

Natijalarini oldindan aytib berish mumkin bo‘lmagan tajribalarni matematik modellarini ko‘rish uchun birinchi navbatda elementar hodisalar fazosi tushunchasi kerak bo‘ladi (elementar hodisa tushunchasi boshlang‘ich (asosiy) tushuncha sifatida qabul qilinib unga ta’rif berilmaydi). Bu fazo sifatida iхtiyoriy Ω to‘plam qabul qilinib, uning elementlari ω lar (ω∈Ω) elementar hodisalar deb e’lon qilinadi va bizni qiziqtiradigan harqanday natijalar shu elementar hodisalar bilan ifodalanadi.

Odatda eng sodda tajribalarda biz chekli sondagi elementar hodisalar bilan ish