M’aruza O‘zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika fani

Bevosita o’lchash natijasida hosil bo’ladigan

miqdorlar xatolarini baholash

Faraz qilaylik a o’lchanayotgan miqdor, x o’lchash natijasi – tasodifiy miqdor,  esa o’lchash xatosi bo’lsin. U holda bu miqdorlar

=x-a x=a+

munosabatlar bilan bog’langan bo’ladi.

Ko’p sondagi tajriba va kuzatishlarning ko’rsatishicha, o’lchash xatolari, sistematik xatoni, ya’ni hamma o’lchashlarda o’zgarmaydigan xatolarni (masalan, asbob xatosi) yoki o’lchashdan o’lchashgacha ma’lum qonun bo’yicha o’zgaradigan xatolarni chiqarib yuborgandan keyin hamda qo’pol xatolarni chiqarib tashlagandan keyin, taqsimot markazi koordinatalar boshida bo’lgan normal taqsimot qonuniga bo’ysunadi. Bu nazariy asoslar bilan ham tasdiqlanadi.

Agar tasodifiy miqdor katta sondagi tasodifiy miqdorlar yig’indisidan iborat bo’lsa, u holda ba’zi bir sharoitlarda bu yig’indi normal taqsimot qonuniga bo’ysunadi, ya’ni A.M.Lyapunov (1857-1918) teoremasi o’rinli bo’ladi.

T
eorema. Agar bog’liq bo’lmagan tasodifiyx₁,x₂, ...,x_n miqdorlar o’rta qiymati a (umumiylikni buzmasdan a=0 deb faraz qilish mumkin) va dispersiya ² bo’lgan bir xil taqsimot qonuniga ega bo’lsa, u Holda n chegarasiz o’sib borganda

yig’indining taqsimot qonuni normal taqsimotdan Har qancha kichik farq qiladi.

Bunda M[y_n]=0 D[y_n]=1 bo’ladi. Bu teoremaning ahamiyati quyidagidan iborat: X tasodifiy miqdor sifatida biror miqdorning berilgan miqdordan chetlanishi bo’lsin. Bu chetlanish ko’p faktorlarning ta’siri natijasida kelib chiqqan bo’lib, ularning har biri biror tashkil qiluvchi chetlanishni beradi. Masalan, otish xatosi (chetlanishi) ko’p faktorlarga bog’liq bo’lishini bilamiz. Lyapunov teoremasidan X tasodifiy miqdorning umumiy chetlanishining – normal qonunga bo’ysunishi kelib chiqadi.

L
yapunov teoremasidan agar x₁,x₂, ...,x_n lar biror miqdorni o’lchash natijalari bo’lsa (Har birx_i tasodifiy miqdor) va tasodifiy x_i miqdorlar bir xil taqsimot qonuniga bo’ysunsa, u holda tasodifiy miqdor o’rta arifmetik qiymati

ning n yetarli katta bo’lganda normal qonunga har qancha yaqin bo’lgan taqsimot qonuniga bo’ysunishi kelib chiqadi.

Tajribaning ko’rsatishicha qo’shiluvchilar soni 10 tartibda bo’lgandayoq ularning yig’indisi normal taqsimotga bo’ysunadi deb hisoblanadi.