M’aruza O‘zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika fani

Mavzu bo’yicha takrorlash savollari
1. Diskret tasodifiy miqdor M(x), D(x) va s(x) qanday aniqlanadi?
2. Uzluksiz tasodifiy miqdor M(x), D(x) va s(x) qanday aniqlanadi?
3. M(x) qanday xossalarga ega?
4. D(x) qanday xossalarga ega?

^{O‘NINCHI MA’RUZA.}
Mavzu: Katta sonlar qonuni.
Reja:

1. 
   Katta sonlar qonuni haqida tushuncha.
   
2. 
   _{Chebishev tengsizligi.}
   
3. 
   Katta sonlar qonunining turli formalari.
   
4. 
   Katta sonlar qonunining bajarilishi uchun etarli va zaruriy shartlar.
   

Tayanch iboralar: tajribalar seriyasi, o‘rtacha xarakteristika, chekli dispersiya, juft-juft o‘zaro bog‘liqmaslik, bir xil taqsimlanganlik.
L Katta sonlar qonuni haqida tushuncha.
Bizga ma’lumki, ehtimollar nazariyasi predmetini ommaviy-tasodifiy voqealarga xos bo‘lgan qonuniyatlar tashkil qiladi. Bulardan eng oddiysi nisbiy chastotalarning turg‘unligi ehtimollar nazariyasining amaldagi barcha tadbiqlarining asosida yotadi. Bunga o‘xshash qonuniyatlarning umumiy ma’nosini qisqacha ifodalamoqchi bo‘lsak, u holda quyidagi xulosaga kelamiz: bir xil tipdagi tajribalarning ko‘p seriyalari o‘tkazilayotgan bo‘lsin. Har bir alohida tajribaning natijasi tasodifiy bo‘ladi, ya’ni aniq bo‘lmaydi. Biroq bunga qaramasdan, tajribalar seriyasining o‘rtacha natijasi tasodifiylik xarakterini yo‘qotadi va qonuniy bo‘lib qoladi. Ehtimollar nazarisida katta sonlar qonuni deyilganda bir qator teoremalar tushuniladiki, bu teoremalarning har birida juda katta sondagi tajribalarning o‘rta xarakteristikalarining biror o‘zgarmas miqdorga yaqinlashishi fakti tasdiqlanadi.
Bunday teoremalarning isbotlari asosida 1845-1846 yillarda P.L. CHebishev isbotlagan muhim tengsizlik yotadi.
Chebishev tengsizligi. Agar tasodifiy miqdor chekli dispersiyaga
ega bo‘lsa, u holda ixtiyoriy son uchun ushbu tengsizlik o‘rinli bo‘ladi:
(1) (1)
Isbot. (1) tengsizyaik Chebishevga mansub bo‘lgan boshqa tengsizlikning natijasidir: agar tasodifiy miqdor faqat manfiy bo‘lmagan qiymatlarnigina qabul qilishi mumkin bo‘lib, chekli matematik kutilmaga ega bo‘lsa, u holda uning birdan kichik bo‘lmagan qiymatlarni qabul qilish ehtimoli shu tasodifiy. miqdorning matematik kutilmasidan katta emas:
. (2)
Haqiqatdan ham, agar X diskret tasodifiy miqdor bo‘lsa, u holda
.
Bu tenglikning o‘ng tomonidagi har bir qo‘shiluvchini ga ko‘paytirsak, u holda o‘ng tomon kamaymaydi, chunki . Unda biz ushbu

tengsizlikni hosil qilamiz. Bu tengsizlikning o‘ng tomonidagi jamlashni tasodifiy miqdorning barcha mumkin bo‘lgan qiymatlari bo‘yicha olsak, bunda tengsizlik faqat kuchayadi. Demak,
, (3)
chunki oxirgi yig‘indi ta’rifga ko‘ra ning matematik kutilmasiga tengdir. Bu esa (2) tengsizlikni tasodifiy miqdor diskret bo‘lgan hol uchun isbotlaydi.
Endi taqsimot zichligi bo‘lgan absolyut uzduksiz tasodifiy miqdor bo‘lsin. ning qiymatlari manfiy emas deb qilgan farazimizga asosan bo‘lganda ayniyat o‘rinlidir. Diskret tasodifiy miqdor uchun yozilgan (3) tengsizlikka o‘xshash tengsizlikni undagi yig‘indini integral bilan almashtirib, bu hol uchun ham yoza olamiz:
(4)
(4) formula (2) tengsizlik absolyut uzluksiz tasodifiy miqdor uchun
ham o‘rinli ekanligini isbotlaydi.
Endi biz (1) tengsizlikni tekshirishga qaytamiz. Unda qatnashayotgan
hodisa ^{hodisaga teng kuchlidir.}
tasodifiy miqdor manfiy bo‘lmagan qiymatlarnigina qabul qiladi, shuning uchun unga (2) tengsizlikni qo‘llash mumkin. Natijada ushbu
_^-
yoki

tengsizlikni hosil qilamiz. Ana shuni isbotlash talab qilingan edi.
Agar hodisadan unga qarama-qarshi
hodisaga o‘tsak, u holda (1) tengsizlikni unga ekvivalent bo‘lgan formada yozish mumkin. Bu holda biz

^{tengsizlikni hosil qilamiz.}