Maruza mashg’ulotlari

Eyler usuli
Bizga quyidagi birinchi tartibli differensial tenglama(Koshi masalasi)ni
(12.1)
oraliqdagi boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi echimini topish lozim bo‘lsin.
Koshi masalasini Eyler usuli yordamida echish uchun, dastlab differensial tenglamaning echimi qidiriladigan kesmani tugun nuqtalar bilan bo‘laklarga bo‘lamiz. Tugun nuqtalarning koordinatalari ( ) formula orqali aniqlanadi. Har bir tugunda echimning qiymatlarini chekli ayirmalar yordamida taqribiy qiymatlar bilan almashtiriladi.
Ma’lumki, funksiyaning nuqta atrofidagi Teylor qatoriga yoyilmasini quyidagicha yozish mumkin:

Ushbu cheksiz qatorning boshidagi ikkita had bilan chegaralanib, birinchi tartibli hosila qatnashgan hadni aniqlash natijasida quyidagi chekli ayirmali formulani hosil qilamiz:
(12.2)
Ushbu almashtirishning geometrik ma’nosi quyidagicha:
Xosilaning geometrik ma’nosiga ko‘ra


BD


(12.2) dan

Demak, chekli ayirmalar formulasi hosilaning asl qiymatidan ga farq qiladi, ya’ni BE qancha kichik bo‘lsa, chekli ayirma hosilaga shuncha yaqin bo‘ladi. Rasmdan da ekanini ko‘rish mumkin. (12.1) va (12.2) dan ekanini hisobga olib, quyidagini hosil qilamiz:
(12.3)
Hosil qilingan (12.3) formula Eyler usulining asosiy ishchi formulasi bo‘lib, uning yordamida tugun nuqtalarga mos bo‘lgan differensial tenglamaning xususiy echimlarini topish mumkin. Yuqoridagi formuladan ko‘rinib turibdiki, echimni topish uchun echimnigina bilish kifoya. Demak, Eyler usuli bir qadamli usullar jumlasiga kiradi.
Eyler usulining geometrik ma’nosi quyidagicha:
A nuqta nuqtaga mos keluvchi echim bo‘lsin. Bu nuqtadan integral chiziqqa o‘tkazilgan urinma nuqtada boshqa integral chizig‘ida echimni aniqlaydi.
Urinmaning og‘maligi hosila bilan aniqlanadi. Demak, Eyler usulidagi yo‘l qo‘yilgan asosiy xatolik echimni bir integral chizig‘idan boshqasiga o‘tkazib yuborishi bilan xarakterlanadi.