Maruza mashg’ulotlari

Iteratsion usullarning umumiy tasnifi. Avval qayd etilganidek, iteratsion usullar tizimning izlangan x yechimiga yaqinlashadigan y₀, y_1, y₂, ... iteratsion ketma-ketliklarni qurishga asoslangan. Har bir shunday usul navbatdagi y_k+1 ni hisoblashda faqat bitta avvalgi uk iteratsiyadan foydalaniiadi. Bunday usullar bir qadamli deyiladi. Bir qadamli usullar uchun iteratsion formulani quyidagi standart kanonik ko'rinishda yozish
(6.20)
qabul qilingan; bunda - iteratsion parametrlar , - yordamchi maxsus bo’lmagan matritsalardir. Agar va B lar k+1 indeksga bog'liq bo'lmasa, ya’ni (6.20) formula ixtiyoriy k lar uchun bir xil ko'rinishga ega bo'lsa, u holda bu iteratsion usul statsionar usul deyiladi. Statsionar usullar hisoblash jarayonini tashkil etish nuqtai nazaridan soddadir. Ammo nostatsionar usullar boshqa ustunliklarga ega: ular { ketma-ketliklarni tanlash bilan boglangan qo'shimcha «erkinlik darajasiga» ega. Bundan y_k iteratsiyalar tizimning x yechimiga yaqinlashish tezligini oshirishda foydalanish mumkin.
(6.20) iteratsion formula yordamida navbatdagi y_k+1 yaqinlashishni topish ushbu
(6.21) tenglamalar tizimini yechishni talab etadi. Bunda
(6.22)
Shunday hisoblashni har bir qadamda bajarishga to'g'ri keladi.
B_k+1 matritsa sifatida birlik B_k+1 = E matritsa olsak, iteratsion ketma-ketlik hadlarini hisoblash uchun eng sodda shaklga ega bo'lamiz. Bunday holda navbatdagi y_k+1 iteratsiyani topish uchun y_k+1 ning komponentlarini (6.21) uchburchakli tizimdan birin-ketin Gauss usulining teskari yurishiga qilinganidek topishga keltiriladi.
qandaydir iteratsion usulning qo'llanishi {u_k} ketma-ketlik tizimning x
yechimiga yaqjn|ashishni bildiradi:
y (3.20) terigijk quyidagini anglatadi:
(6.23)
(6.23) dan ko’rinadiki, y_k vektorlar ketma-ketligining x vektorga
yaqinlashishining zaruriy va yetarli sharti har bir komponentning
yaqinlashuvchiiigidan iborat i=1,2,3…..,n
Ushbu ayrjm z_k=y_k-x xatolik deyiladi. y_k ni y_k=x + z_k ko'rinishda yozib va
(6.20) ga qo'yjb, xatolik uchun,
(6.24)
iteratsion formulani hosil qilamiz. (6.20) dan farqli o'laroq, u tizimning
o’ng tomoni (f) ni o'z ichiga olmaydi, ya’ni bir jinslidir. (6.23) yaqinlash-
ishm talatj etish z_k ning nolga intilishi lozimligini anglatadi:
(6.25)
Har bir iteratsion usul yaqinlashuvchiligining yetarlilik shartlari A,B_k+1
matritsalar va iteratsion parametrlarni optimal tanlashga oid shartlarni tekshirish qiyin. Natijada hisoblashlarni bajarayotganda iteratsion parametrlarni ko'pincha tajriba yo'li bilan (empirik) tanlashga to’g’ri keladi.
Iteraцiya usuli. (6.10) sistemani
x₁=₁(x₁,x₂,...,x_n),
x₂=₂(x₁,x₂,...,x_n), (6.26)
..................
x_n=_n(x₁,x₂,...,x_n)
ko‘rinishda ёzib olamiz.
Chiziqli bo‘lmagan bitta tenglamani echishda ishlatilgan iteraцiya usuliga o‘xshash. Bu erda ham ixtiёriy x⁽⁰⁾= (x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,...,x_n⁽⁰⁾) vektorni olib (6.13) sistemaning o‘ng tarafiga qo‘yib, chap tarafda echimning birinchi yaqinlashishini hosil qilamiz. Bu jaraёnni takrorlab yangi yaqinlashishlarni tuzamiz. Masalan, x^(R)= (x₁^(R),x₂^(R),...,x_n^(R))Yaqinlashish topilgan bo‘lsa, x^(k+1) yaqinlashish
x₁^(k+1) =₁(x₁,x₂,...,x_n),
x₂^(k+1) =₂(x₁,x₂,...,x_n),
.......................
x_n^(k+1) =_n(x₁,x₂,...,x_n)
kabi topiladi.
Iteraцiya jaraёni

shart bajarilguncha davom эttiriladi. Bu erda ham ilgaridagi kabi - echim aniqligi.
Chiziqli bo‘lmagan tenglamalar sistemasini echishda chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini echishda ishlatilgan Zeydel usulidan ham foydalanish mumkin.
Bunda (6.15) yaqinlashishlar quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
x₁^(k+1) =₁(x₁^(k),x₂^(k),...,x_n^(k)),
x₂^(k+1) =₂(x₁^(k+1),x₂^(k),...,x_n^(k)),
.............................................
x_n^(k+1) =_n(x₁^(k+1),x₂^(k+1),...,x_n-1^(k+1),x_n^(k)), k=0,1,...
Iteraцiya usulining yaqinlashish shartlarini ikkinchi tartibli sistema uchun keltiramiz.
T e o r e m a. Ikkinchi tartibli (6.13) sistemaning yagona echimi{a12
p₁+p₂M<1,q₁+q₂N<1 (6.27)
tengsizliklar bajarilsa, iteraцiya jaraёni yaqinlashadi va nolinchi yaqinlashish sifatida to‘g‘ri to‘rtburchakning ixtiёriy nuqtasini olish mumkin.