Ma’ruza Kompleks sonlar ustida amalllar. Kompleks sonlarning moduli va argumenti. Kompleks sonning trigonometrik va ko’rsatkichli shakli. Muavr formulasi. Kompleks sondan ildiz chiqarish

Murojaat uchun: @UktamRakhmonov

---

1)
 
z
1
+z
2
=(x
1
+iy
1
)+(x
2
+iy
2
)=(x
1
+x
2
)+i(y
1
+y
2
), 
2)
 
z
1
-z
2
=(x
1
+iy
1
)-(x
2
+iy
2
)=(x
1
-x
2
)+i(y
1
-y
2
), 
3)
 
z
1
∙z
2
=(x
1
+iy
1
)∙(x
2
+iy
2
)=(x
1
x
2
 -y
1
y
2
)+i(x
1
y
2
+x
2
y
1
). 
Xususan: 
z∙
𝑧 
=(x+iy)∙(x-iy)=x
2
+y
2
 
Agar z
2
≠0 bo‘lsa, kompleks sonlarning nisbati quyidagicha hisoblanadi: 
𝑧
1
:
𝑧
2
=
𝑧
1
𝑧
2
=
𝑥
1
+
𝑖𝑦
1
∙
(
𝑥
2
− 𝑖𝑦
2
)
𝑥
2
+
𝑖𝑦
2
∙
(
𝑥
2
− 𝑖𝑦
2
)
=
𝑥
1
𝑥
2
+
𝑦
1
𝑦
2
𝑥
2
2
+ 
𝑦
2
2
+
𝑖
𝑥
2
𝑦
1
− 𝑥
1
𝑦
2
𝑥
2
2
+
𝑦
2
2
Eslatma.
Kompleks sonlarga nisbatan “katta” va “kichik“
tushunchalari kiritilmagan. 
Kompleks sonning haqiqiy va mavhum qismlari o‘zaro qo‘shma 
kompleks sonlar orqali quyidagicha ifodalanadi: 
𝑅𝑒𝑧
=
𝑧
+
𝑧 
2
,
𝐼𝑚𝑧
=
𝑧−𝑧 
2
. 

---

Aytaylik, tekislikda koordinata o‘qlari 
x 
va 
y 
bo‘lgan to‘g‘ri 
burchakli Dekart koordinatalari sistemasi berilgan bo‘lsin. U holda har 
qanday 
z = x+iy 
kompleks son XOY tekislikdagi biror M(
x;y
) nuqta 
orqali tasvirlanadi. 
Kompleks sonlarni bu xilda tasvirlaganda, 
x
ga, ya’ni
x
+0·і
songa (
x
;0) nuqta mos kelib, u nuqta O
x 
o‘qida yotadi. Shu boisdan, O
x 
o‘qini haqiqiy o‘q deb yuritiladi. Shuningdek, 0+
y
·і songa Oу
 
o‘qida 
(0;у) nuqta mos kelganligi uchun, 
Oу 
o‘qini mavhum o‘q deb atash 
qabul qilingan (1-rasm). 
Kompleks sonlarni yuqoridagidek tasvirlash bilan birgalikda ular 
vektorlar orqali ham tasvirlanadilar, ya’ni, har qanday 
z = x+iy 
songa 
M(
x,у
) nuqtaning radius-vektori deb ataluvchi 
𝑂𝑀
=
𝑟 
vektor mos qilib 
qo‘yiladi ( 2-rasm). 

---

Ta’rifga binoan,
𝑂𝑀
=
𝑟 
vektorning uzunligi, 
z = x+iy 
kompleks 
sonning moduli deb ataladi va uni |
z
|=r deb belgilanadi. Demak, 
𝑟
=
𝑥
2
+
𝑦
2
dir. 
1 - rasm 2 - rasm
z = x+iy 
kompleks sonning argumenti deb,
𝑂𝑀
vektor bilan O
x 
o‘qining 
musbat yo‘nalishi tashkil qilgan burchakka aytiladi va φ=Argz deb 
belgilanadi, hamda u Argz = argz+2kπ(k=0,±1,±2,...) ifoda orqali 
aniqlanadi. 
Murojaat uchun: @UktamRakhmonov

---

Bu yerdagi argz, Argz ning bosh qiymati bo‘lib, uning uchun
– π Argz =
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑦
𝑥
,
𝑎𝑔𝑎𝑟
𝑥
> 0 
𝑏𝑜
‘
𝑙𝑠𝑎
, (
𝐼
,
𝐼𝑉
chorak
)
𝜋
+
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑦
𝑥
,
𝑎𝑔𝑎𝑟
𝑥
< 0,
𝑦 ≥
0 
𝑏𝑜
‘
𝑙𝑠𝑎
, (
𝐼𝐼
chorak
)
−𝜋
+
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑦
𝑥
,
𝑎𝑔𝑎𝑟
𝑥
< 0,
𝑦
< 0 
𝑏𝑜
‘
𝑙𝑠𝑎
, (
𝐼𝐼𝐼
chorak
)
𝜋
2
,
𝑎𝑔𝑎𝑟
𝑥
= 0,
𝑦
> 0 
𝑏𝑜
‘
𝑙𝑠𝑎
,
−
𝜋
2
,
𝑎𝑔𝑎𝑟
𝑥 ≠
0,
𝑦
< 0 
𝑏𝑜
‘
𝑙𝑠𝑎
Ta’rifdan ko‘rinayaptiki, tg(Argz) =
𝑦
𝑥
, sin(Argz) = 
𝑦
𝑥
2
+
𝑦
2
va 
cos(Argz) = 
𝑦
𝑥
2
+
𝑦
2
ekan. Ikkita z
1 
va z
2 
kompleks sonlar o‘zaro teng 
bo‘lishlari uchun | z
1
|=|z
2
| va Argz
1
=Argz
2
lar bajarishlari lozimdir.

---

r 
3. Kompleks sonning trigonometrik va ko’rsatkichli shakli. 
Ixtiyoriy 
z = x+iy 
kompleks sonning trigonometrik shakli deb
z = r(cosφ+isinφ) ga aytiladi. Bu erda: r = |z|, φ=Argz. Agar
𝑒
𝑖𝜑
=
𝑐𝑜𝑠𝜑
+
𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑
(Eyler formulasi) ekanligini e’tiborga olsak, 
kompleks sonning trigonometrik shaklini z = r 
𝑒
𝑖𝜑
deb yozamiz va uni 
kompleks sonning ko‘rsatkichli shakli deb yuritiladi. 
Algebraik shakldagi kompleks sonlarning trigonometrik yoki 
ko‘rsatkichli shakllarini yozishda ularga mos keluvchi vektorlarning 
qaysi choraklarda yotishini e’tiborga olish muhim ahamiyatga ega.
1-misol.
z=-1+i ning trigonometrik va ko‘rsatkichli shakllarini 
yozing. 
Yеchish:
|z| = r = 
(
−
1)
2
+ 1
2
=
2
. х = -1, y =1: 
argz = arctg
1
−
1
+
𝜋
=
−
𝜋
4
+
𝜋
=
3
𝜋
4
,
𝜑
=
3
𝜋
4
.
Shuning uchun -1+ i = 
2
(cos
3
𝜋
4
+isin
3
𝜋
4
) =
2
𝑒
3
𝜋
4
𝑖
. 

---

Muavr formulasi. Kompleks sondan ildiz chiqarish. 
Trigonometrik shakldagi chekli sondagi kompleks sonlarni 
ko‘paytirish uchun ularning modullari ko‘paytirilib, argumentlari 
qo‘shiladi.
z
1
z
2
z
3
...z
n
=(r
1
r
2
r
3
...r
n
)[cos(φ
1
+φ
2
+φ
3
+...+φ
n
)+isin(φ
1
+φ
2
+φ
3
+...+φ
n
)] (1) 
Agar (1) formulada, z
1 
= z
2 
= z
3 
= ... = z
n 
= z deb oladigan bo‘lsak,
z
n 
= r
n
(cosnφ+isinnφ) (2) 
ni hosil qilamiz. 
Mazkur (2) formulani Muavr formulasi deb ataladi va undan 
ko‘rinayaptiki, u yoki bu algebraik shakldagi kompleks sonni biror n 
natural darajaga ko‘tarish uchun avvalo uni trigonometrik shaklga 
keltirib, keyin Muavr formulasidan foydalanish lozim bo‘lar ekan. 
Murojaat uchun: @UktamRakhmonov

---

2-Misol.
Hisoblang: z 
= (
−
1 + i )
4
. 
Yechish: Yuqorida hisoblaganimizdek, -1+ i = 
2
(cos
3
𝜋
4
+isin
3
𝜋
4
)
. 
Muavr formulasidan fodalansak, 
2(cos
3
𝜋
4
+ isin
3
𝜋
4
)
4
=
2
4
(cos
3
𝜋
4
∙
4 + isin
3
𝜋
4
∙
4)
= 4(cos3
𝜋
+
𝑠𝑖𝑛
3
𝜋
)
= -4. 

---

Agarda ixtiyoriy n natural son uchun
𝑤
𝑛
=z (1) kabi tenglik 
o‘rinli bo‘ladigan bo‘lsa, u holda w kompleks sonni z kompleks sonning 
n-natural darajali ildizi deb ataladi va uni w= 
𝑧
𝑛
dek belgilanadi. 
𝑤
𝑛
= z ga binoan,
𝜌
𝑛
(cosn
𝜃
+
𝑖𝑠𝑖𝑛𝑛𝜃
) = 
r(cosφ+ isinφ) deb yozish 
mumkin. Bundan esa, 
𝜌
𝑛
=
𝑟
va n
𝜃
=
𝜑
𝑦𝑜𝑘𝑖
𝜌
=
𝑟
𝑛
va
𝜃
=
𝜑
𝑛
larni 
hosil qilamiz. U holda,
𝑧
𝑛
=
|
𝑧
|
𝑛
∙
(
𝑐𝑜𝑠
𝜑
𝑛
+
𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛
𝜑
𝑛
)
ni yoki
𝜑
=
𝐴𝑟𝑔𝑧
=
𝑎𝑟𝑔𝑧
+ 2
𝑘𝜋
ekanligini nazarda tutib quyidagini
yozamiz:
𝑧
𝑛
=
|
𝑧
|
𝑛
∙
(
𝑐𝑜𝑠
𝑎𝑟𝑔𝑧
+ 2
𝑘𝜋
𝑛
+
𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛
𝑎𝑟𝑔𝑧
+ 2
𝑘𝜋
𝑛
)
Bu yerda : k=0,1,2,…,(n-1). 
Murojaat uchun: @UktamRakhmonov

---

Demak, agar z = x+iy kompleks sondan n-natural darajali ildiz 
hisoblash lozim bo‘lsa, avvalo uni trigonometrik shaklda ifodalab, keyin 
yuqoridagi formuladan foydalanish kerak ekan. 
3-misol.
1
3
hisoblang. 
Yеchish:
1=cos0+isin0 
ekanligini 
e’tiborga olsak,
1
3
=
𝑐𝑜𝑠
2
𝑘𝜋
3
+
𝑠𝑖𝑛
2
𝑘𝜋
3
deb yozish mumkin (k = 0, 1, 2). 
Natijada quyidagilarni hosil qilamiz: 
(
1
3
)
0
=
𝑐𝑜𝑠
0 +
𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛
0 = 1,
(
1
3
)
1
=
𝑐𝑜𝑠
2
𝜋
3
+
𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛
2
𝜋
3
=
−
1
2
+
𝑖
3
2
, 
(
1
3
)
2
=
𝑐𝑜𝑠
4
𝜋
3
+
𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛
4
𝜋
3
=
−
1
2
− 𝑖
3
2
. 

---

E’TIBORINGIZ UCHUN 
RAHMAT!!!
Murojaat uchun: @UktamRakhmonov