Ma’ruza. Aniq integral va uning asosiy xossalari. Aniq integrallarni hisoblash usullari. Nyuton-Leybnits formulasi. Aniq integralning tatbiqlari. Aniq integral yordamida yuzalarni, yoy uzunligini va jism hajmini hisoblash. Reja

Bo‘laklab integrallash usuli bilan aniq integrallarni hisoblash.
Faraz qilaylik, va funksiyalar segmentda uzluksiz va uzluksiz va hosilalarga ega bo‘lsin. U holda
(3)
bo‘ladi.
Ravshanki,
.
Demak, funksiya funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladi. Unda

bo‘lib, bu tenglikdan

bo‘lishi kelib chiqadi.
(3) tenglikni quyidagicha
(3’)
ham yozish mumkin.
Misollar. 1. Ushbu integral hisoblansin.
Bu integralda deb olamiz. Unda

bo‘lib, (3’) formulaga ko‘ra

bo‘ladi.
Teorema. Integrallar uchun o‘rta qiymat haqidagi teorema
Agar intervalda funksiya uzluksiz bo‘lsa, u holda intervalga tegishli kamida bitta shunday qiymat topiladiki, uning uchun

tenglik o‘rinli¹.
Isboti. Ekstremum qiymati haqidagi teoremaga ko‘ra, agar funksiya biror chekli intervalda uzluksiz bo‘lsa, u bu intervalda absolyut maksimum va absolyut minimumga erishadi. – absolyut maksimum va – absolyut minimum bo‘lsin. Shunday qilib intervaldagi har qanday uchun

ekanligini topamiz, teorema 5.7.dan esa

yoki yoki Bu esa shu sonning va orasida ekanligini bildiradi, funksiya va orasidagi qiymat qabul qilishiligidan, o‘rta qiymat haqidagi teoremasidan, shunday intervalga tegishli mavjudki, funksiya qiymatida ga teng bo‘ladi, ya’ni
yoki .


Nazariy sаvоllаr

1. 
   Yuza hisoblash masalasi nimadan iborat?
   
2. 
   Aniq integralning ta`rifini ayting.
   
3. 
   Aniq integralning geometrik ma`nosini ayting.
   
4. 
   Aniq integralning hossalarini keltiring.
   
5. 
   Aniq integralning hossalarining geometrik tahlilini bayon qiling.
   
6. 
   Yuqori chegarasi o`zgaruvchan bo`lgan aniq integral haqidagi teoremani ayting.
   
7. 
   Nyuton-Leybnits formulasi yozib bering.
   
8. 
   Aniq integralda o`zgaruvchi qanday almashtiriladi.
   
9. 
   Aniq integralni bo`laklab integrallash formulasini yozing.
   
10. 
    Bo`laklab integrallanishi mumkin bo`lgan aniq integralga misollar keltiring.
    

1

1¹

1