Ma’ruza. Aniq integral va uning asosiy xossalari. Aniq integrallarni hisoblash usullari. Nyuton-Leybnits formulasi. Aniq integralning tatbiqlari. Aniq integral yordamida yuzalarni, yoy uzunligini va jism hajmini hisoblash. Reja

Misol. Algebraik xossalar
integralni hisoblang.
Yechish. Teoremaning a) va s) qismlariga asosan, bunday yozishimiz mumkin

Birinchi integral integrallanadi, balandligi 5 va asosi 1 bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak yuzi 5ga teng, ikkinchi integral misol 5.19.da ko‘rilgan edi, bunda integral ostidagi funksiya ga teng. Demak
.
Uzilishlar va integrallanish
Funksiya uzilishga ega bo‘lgan holda, uni aniqlash masalasi ancha murakkab bo‘lib, bu kitobda yoritilmaydi. Shunga qaramay, biz bunday funksiyalarning integrallanishi to‘g‘risidagi asosiy natijalarini bilishimiz muhim. Bir necha terminlarni tushunish uchun, birinchi asosiy ta’rifni beraylik.
Ta’rif . Integralanish va limitlar
intervalda aniqlangan funksiya intervalda chegaralangan deyiladi, agarda shunday musbat son mavjud bo‘lsaki,

intervaldagi har bir uchun. Geometrik nuqtai nazardan funksiya grafigi intervalda va to‘g‘ri chiziqlar orasida yotadi.

Chizmada funksiya intervalda chegaralangan.
Masalan, uzluksiz funksiya, har bir chekli kesmada chegaralangan, chunki Ekstremum qiymati haqidagi teoremaga ko‘ra, agar funksiya biror chekli intervalda uzluksiz bo‘lsa, u bu intervalda absolyut maksimum va absolyut minimumga erishadi, demak uning grafigi va to‘g‘ri chiziqlar orasida yotadi, bunda biz sonini etarlicha katta qilib olamiz. Bunga qarshi, agar funksiya interval ichida vertikal asimptotaga ega bo‘lsa, u intervalda chegaralanmagan bo‘ladi, sonini qanchalik katta olmaylik, funksiya grafigi va to‘g‘ri chiziqlar orasida yotmaydi.
Uzilish ega bo‘lgan funksiyalarni integrallanishi haqida ba’zi dalillarni o‘z ichiga olgan quyidagi teoremani isbotsiz beriladi.
Teorema. Uzlukli funksiyalarni integrallash.
funksiya chekli yopiq intervalda berilgan bo‘lsin.
a) Agar funksiya intervalda chekli uzilishga ega bo‘lib, intervalda chegaralangan bo‘lsa, funksiya shu intervalda integrallanuvchi bo‘ladi.
b) Agar funksiya intervalda chegaralanmagan bo‘lsa, u holda intervalda integrallanuvchi bo‘lmaydi¹.