Mardiyev R. – Matematik analiz kafedrasi dotsenti

Misol. Ushbu


sistemani yeching.

Yechilishi. Bu sistemaning determinantini tuzamiz.



bo’lgani uchun sistemaga Kramer qoidasini qo’llash mumkin. larni tuzamiz.

(6) formulaga asosan, berilgan sistemaning yechimi bo’ladi.

Agar (1) sistemadagi ozod hadlar nolga teng bo’lsa, ya’ni , u holda bunday sistema bir jinsli sistema deyiladi.

Teorema. n noma’lum n ta bir jinsli tenglamalar sistemasi nolmas yechimlarga ega bo’lishi uchun, sistema determinanti nolga teng bo’lishi zarur va yetarlidir.

2.Gauss usuli

Bizga m nomu’lum n ta chizikli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin, ya’ni

(1)

(1) sistemaning noma’lumlarini ketma-ket yo’qotish usuli yoki Gauss usuli bilan yechimini topamiz. Noma’lumlarni ketma-ket yo’qotish bilan berilgan sistema uchburchak shaklga kelib qoladi.

Agar (1) sistemadagi biror tenglamani ikkinchisiga qo’shganda yoki har qanday haqiqiy songa ko’paytirganda, (1) sistemaga ekvivaliyent tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Faraz qilaylik, (1) dagi bo’lsin. (1) sistemadagi birinchi tengalamani ga bo’lamiz;

U holda

(2)

hosil qilingan (2) tenglamaga sonlarni ketma-ket ko’paytirib sistemaning tenglamalariga qo’shamiz, u holda

(3)
sistemaga ega bo’lamiz. (3) tenglamalar sistemasi (1) sistemasiga ekvivaliyent ekanligi bizga ma’lum.

Bunda birinchi tenglamaga mutlaqo tegmaymiz va (3) sistemaning birinchi tenglamasidan tashqari barcha tenglamalaridan iborat qismini almashtirish kerak deb hisoblaymiz. Bunda bu tenglamalar ichida chap tomonlarining barcha koeffisiyentlari nolga teng bo’lgan tenglamalar mavjud emas deb hisoblaymiz, albatta, bunday tenglamalarni, agar ularning ozod hadlari ham nolga teng bo’lsa, tashlab yuborgan bular edik, aks holda esa sistemaning birgalikda emasligini isbot qilgan bular edik.

Shunday qilib, koeffisentlar orasida noldan farqlilari bor; aniqlik uchun deb qabul qilamiz. (3) sistemaning ikkinchi tenglamasining hamma hadlarini ga bo’lamiz, so’ngra uni mos ravishda sonlarga ko’paytirib uchinchi, turtinchi va boshqa tenglamalarga qo’shamiz, u holda

(4)

sistemaga ega bo’lamiz.

Agar bu tenglamalardan biri noldan farqli ozod hadga ega bo’lib, chap tomonidagi barcha koeffisiyentlari esa nolga teng bo’lgan sistemaga ega bo’lib qolsa, u holda bu sistema yechimga ega bo’lmaydi.

Agar o’zgaruvchilar soni bilan tenglamalar soni teng bo’lib va (1) sistema birgalikda (yechimga ega) bo’lsin, u holda (4) sistema quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

(5)
bunda koeffisiyentlar hammasi noldan farqli. (5) sistemaning oxirgi tenglamasidan x_n noma’lum uchun tayin bir qiymat hosil qilamiz. Bu qiymatni oxiridan ikkinchi tenglamaga qo’yib, x_n-1 noma’lum uchun bir qiymatli aniqlangan tayin qiymatni topamiz. Shunday davom ettirib, (5) sistemaning yagona yechimiga ega bo’lamiz.

Agar o’zgaruvchilar soni tenglamalar sonidan ko’p bo’lsa, u holda almashtirishlar yordamida (4) sistema quyidagi ko’rinishga keladi:

(6)
(6) cistemadagi noma’lumlarni o’ng tomonga o’tkazib, quyidagi sistemani hosil qilamiz:

Bunda lardan iborat ozod noma’lumlarga ixtiyoriy qiymatlar berib, uchburchakli sistemani hosil qilamiz, so’ngra yuqoridagi uslub bilan ketma – ket noma’lumlarni aniqlaymiz.

Agar ga ixtiyoriy qiymatlar berish mumkinligini e’tiborga olsak, bu holda berilgan (1) sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi.