Maqsad: determinantlarni xossallarini va hisoblashni o’rganish. Reja

Ma’ruza № 2

Dеtеrminantlar. Xossalari. Yuqori tartibli dеtеrminantlar Minor va algebraik to’ldiruvchi. Yuqori tartibli determinantlarni hisoblash usuli.matrisani rangi.

Maqsad:
determinantlarni xossallarini va hisoblashni o’rganish.
Reja:
1. II-tartibli determinantlar.
2. III-tartibli determinantlar.
3. Determinantlarning xossalari.
4. Minor va algebraik to’ldiruvchi.
5.Yuqori tartibli determinantlar.
Tayanch iboralar: elementlar, yo’l, ustun va diagonal elementlar, determinant, o’lchov, minor, algebraik to’ldiruvchi, determinantning yoyilmalari.


¹ II-tartibli determinantlar.


Ta’rif-1. Agar a₁₁,a₁₂,a₂₁,a₂₂ sonlar berilgan
bo’lsa, shu sonlar orqali aniqlangan a₁₁a₁₂ - a₂₁a₂₂ songa II-tartibli determinantlar deyiladu va quyidagicha belgilanadi:
(1)
a₁₁,a₁₂,a₂₁,a₂₂ larga determinantlar elemetli, a₁₁,a₁₂ –determinantning brinchi, a₂₁,a₂₂ larga ikkinchi yo’l elementlari deyiladi. a₁₁, a₂₂ determinantning bosh, a₂₁,a₂₂ larga esa determinantning yordamchi diagonal elementlari deyiladi.
Masalan:
1)
2) .


²III-tartibli determinantlar.
Ta’rif-2: Berilgan a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₂₁, a₂₂, a₂₃, a₃₁, a₃₂, a₃₃ sonlar orqali aniqlangan va quyidagicha belgilangan

songa 3-tartibli determinantlar deyiladi.
III-tartibli determinant uchta yo’l va uchta ustun elementlaridan iborat bo’lib, ( ) hammasi bo’lib 9 ta elementdan tashkil topadi.
quyidagi birinchi i indeks yo’lning tartibini, ikkinchi indeks j esa ustunning tartibini bildiradi. Har bir determinant biror aniq sonni ifodalaydi, va uni quyidagi usullar bilan aniqlash mumkin.

1. 
   Uchuburchaklar usuli:
   

2. 
   Diagonallar usuli:
   

+ _



³Determinantning xossalari.
1º. Agar determinantning yo’lini mos ustunlari bilan almashtrilsa, determinantning qiymati o’zgarmaydi.
Masalan:
2º. Determinantning ixtiyoriy ikkita yo’lini (ustunini) o’zaro almashtirilsa, determinant qiymati o’z ishroasini o’zgartirmaydi.
Masalan: , , .
3º. Determinantning biror yo’lining (ustunining) barcha elementlari nol bo’lsa, determinant-ning qiymati nol bo’ladi.
Masalan:
.
4º. Ixtiyoriy ikkita yo’li yoki ikkita ustuni bir xil bo’lgan determinant qiymati nol bo’ladi.
Masalan:
, .
5º. Istalgan yo’l (ustun) ning umumiy elementini determinant belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.
.
6º. Determinant biror yo’l (ustun) elementlariga boshqa yo’l (ustuni) ning elementlarini biror songa ko’paytirinb qoshganda determinantning qiymati o’zgarmaydi.

7º. Agar determinantning biror i-yo’lida (ustunida) a_ij elementdan boshqa hamma elementlari 0 bo’lsa, u holda bu determinant element bilan shu elementning algebraik to’ldiruvchisi ko’paytmasiga teng bo’ladi.
.
8º. Har qanday determinant, biror yo’li (ustuni) elementlari bilan shu elementlarning algebraik to’ldiruvchilari ko’paytmalarining yig’indisiga teng.
yoki .
Misol.

9º. Determinantning biror yo’li (ustuni) elementlarining boshqa yo’li (ustuni) elementlarining algebraik to’ldiruvchilari ko’paytmalarining yig’indisi 0 bo’ladi.
Misollar yechish;
1.
2.
3.


⁴Minor va algebraik to’ldiruvchilar.


Ta’rif: Biror n-tartibli determinantning a_ij elementining minori deb, shu element turgan yo’l va ustunini o’chrishda hosil bo’lgan (n-1)-tartibli determinantga aytiladi.
Masalan: . 3 – tartibli determinant a₂₃ elementining minori
M₂₃= 2 – tartibli determinant bo’ladi.
Ta’rif: n-tartibli determnantning a_ij elementining algebraik to’ldiruvchisi deb shu element (-1)^i+j ishora bilan olindaniga aytiladi va A_ij orqali belgilanadi:
A_ij=(-1)^i+j M_ij.
Misol 2. determinantning a₄₂ elementining minorini va a₂₂ elementining algebraik to’ldiruvchisin hisoblang:
M₄₂= _, A₂₂=(-1)²⁺² M₂₂+ M₂₂= =18+30+2-18-4-15=13.