Maple7 dasturi yordamida Oliy matematika masalalarini yechish

8.6.5-misol.. u=x²+y²+z² funktsiyning M(1;1;1) huqtadagi gradientini toping.
1) huqtadagi gradient: =
2) gradient yo‘nalishi bo‘yicha hosila:
,
> restart;
> with(Student[MultivariateCalculus]):
> Gradient(x^2+y^2+z^2,[x,y,z]=[1,1,1]);
8.6.6-misol.. x²+y²=(z-2)² konuaning M₁(1;2), M₂(3;4) huqtalardagi gradientlarini toping.
> with(Student[MultivariateCalculus]):
> Gradient(sqrt(x^2/3+y^2/4)+2,[x,y]=[[1,2],[3,4]],
x=-8..8, y=-8..8, z=0..8, output=plot);

8.6.7-misol. x²+y²=z paraboloidning M₁(1;2), M₂(3;5), M₂(5;6) huqtalardagi gradientlarini toping.
> GradientTutor(x^2+y^2, [x,y] = [[1,2],[3,5],[5,6]]);



8.7. Egri chiziqqa urinma to‘g‘ri chiziq va normal tekislik

Aytaylik, fazoda egri chiziq o‘zining parametrik

(8.7.1)
tenglamalari bilan berilgan bo‘lsin. arametrning qiymatiga egri chiziqning nuqtasi mos kelsin. Agar arametrga orttirma bersak, bu nuqta egri chiziqning qandaydir nuqtasiga qo‘zg‘aladi, bu yerda (8.7.1) parametrik tenglamalarga mos funksiyalarning orttirmalaridir. kesuvchini qarasak, bu to‘g‘ri chiziqning yo‘nalishi deb, vektorni olish mumkin (8.7.1-rasmga qarang).Bu vektorning koordinatalari bo‘lishi ravshandir. kesuvchining yo‘nalishi deb
(8.7.2)
ni qabo‘l qilish ham mumkin, chunki dir.
Agar (8.9.1) parametrik tenglamalar t_o nuqtada differensiallanuvchi va

deb faraz qilinsa,
va buning natijasida kesuvchi limitik holatga intlishi kelib chiqadi. Ana shu to‘g‘ri chiziq egri chiziqqa M_o nuqtada o‘tkazilgan urinma deb qabo‘l qilinadi. Bu urinmaning yo‘nalishining koordinatalarini deb qabo‘l qilish mumkin, chunki (8.7.2) da dagi limitga o‘tilsa,

bo‘ladi. Albatta, urinma yo‘nalishini ga kollinear bo‘lgan ixtiyoriy vektor bilan almashtirish ham mumkin,masalan,

bilan. Endi urinma tenglamasini yozish qiyin emas
yoki
Agar yuqorida aytilgan ma’noda egri chiziqqa M_o nuqtasidagi urinma mavjud bo‘lsa, bu urinmaga urinish nuqtasi orqali erendikulyar qilib o‘tkazilgan tekislik egri chiziqqa M_o nuqtasidagi normal tekislik deb ataladi (8.9.1-rasmda tekislik).
Normal tekislik tenglamasi

bo‘lishini ko‘rish qiyin emas.
8.7.1-misol.. Uch o‘lchovli fazoda x=t, y=t², z=t³ tenglamalar bilan berilgan egri chiziqning t=1 bo‘lgandagi urinma to‘g‘ri chiziq va normal tekislik tenglamalarini toping.
Yechish. x=t, y=t², z=t³ da t=t₀=1 uchun: x₀=1, y₀=1, z₀=1
larning xusysiy hosilalari:

urinma to‘g‘ri chiziq: ,

normal tekislik:
yoki