Maple7 dasturi yordamida Oliy matematika masalalarini yechish

8.6.2-misol. Z=x²+y² funktsiyning M(1;2) huqtadagi yo‘nalish bo‘yich hosilani toping.
Yechish. M(1;2) huqtadagi funktsiyni xususiy hosilalarini topamiz:

=
=


> with(Student[MultivariateCalculus]):
> DirectionalDerivative(x^2+y^2,[x,y]=[1,2],[3,4]);

> DirectionalDerivativeTutor(x^2+y^2, [x,y] = [1,2], [2,3], x=-5..5, y=-6..6, z=0..6);

8.6.3-misol.. Z=x²+y² funktsiyning M(-4;4) huqtadagi yo‘nalish bo‘yich hosilani toping.
> with(Student[MultivariateCalculus]):
> DirectionalDerivative(x^2+y^2,[x,y]=[-4,-4],[-6,-6]);

> DirectionalDerivative(x^2+y^2, [x,y]=[-4,4], [-6,-6],
x=-8..-2, y=0..6, z=0..40, output = plot);



> restart;
>
> with(VectorCalculus):
> DirectionalDiff( f(x,y,z), , [x,y,z] );

8.6.4-misol.. u=x²+y²+z² funktsiyning M(1;1;1) huqtadagi yo‘nalish bo‘yich hosilani toping.

Formulaga asosan: x=1, y=1, z=1, a=2, b=1,c=3


,




>restart;
>u:=(x,y,z)->x^2+y^2+z^2;
> with(VectorCalculus):with(Student[MultivariateCalculus]):
> DirectionalDiff( f(x,y,z), , [x,y,z] );

> DirectionalDiff( u(x,y,z), , [x,y,z] );

> dl:=DirectionalDiff(u(x,y,z),<2,1,3>,[x,y,z]);

> x:=1;y:=1;z:=1;dl :=1/14*sqrt(14)*(4*x+2*y+6*z);

Endi yo‘nalish bo‘yicha hosila funksiyaning shu berilgan yo‘nalish bo‘yicha «o‘zgarish tezligi» ekanligini e’tiborga olgan holda berilgan nuqtada funksiya qaysi yo‘nalish bo‘yicha eng tez o‘sadi, degan savolni qo‘yaylik. Bu savol qaralayotgan nuqtada funksiyaning barcha xususiy hosilalari nolga teng bo‘lgan hol uchun o‘z ma’nosini yo‘qotadi. Chunki bunday nuqtada istalgan yo‘nalish bo‘yicha hosilalar nolga tengdir. Demak, xususiy hosilalardan aqalli bittasi noldan farqli bo‘lgan holni qarash lozim bo‘ladi.

belgilashlarini kiritsak, shart bajarilishini talab qilamiz.
vektorni kiritaylik. Agar yo‘nalishni birlik vektor deb qabo‘l qilsak, u holda (8.6.1) ni

ko‘rinishda yozish mumkinligi va skalyar ko‘aytma xossasiga asosan oxirgidan
(8.6.3)
o‘rinli ekanligini olamiz. (8.6.3) dan agar bo‘lsa, uning o‘ng tomonidagi roeksiya eng katta qiymatga erishishi kelib chiqadi. Demak, funksiyaning yo‘nalish bo‘yicha hosilasi eng kata bo‘lib, bu yo‘nalish bo‘yicha funksiya eng tez o‘sib borar ekan. Kiritilgan vektorni funksiyaning qaralayotgan nuqtadagi gradienti deb qabo‘l qilinadi.
Funksiyaning berilgan nuqtadagi gradienti deb, koordinatalari shu nuqtadagi funksiyaning mos xususiy hosilalaridan iborat vektorga aytiladi va kabi belgilanadi.
Demak,

bo‘lib, bu vektor berilgan nuqtada funksiyaning eng tez o‘sish yo‘nalishidan iboratdir. Bu o‘rinda funksiya gradientiga qarama-qarshi yo‘nalish bo‘yicha hosila uning eng tez kamayish yo‘nalishi bo‘lishini ham aytamiz.
Funksiya gradientini koordinalar o‘qlarining ortlari bo‘yicha

ko‘rinishda yoziladi.
Uch o‘zgaruvchili funksiyaning qaralayotgan M₀ nuqtadagi gradienti (u mavjud va noldan farqli degan faraz asosida) bu funksiyaning M₀ nuqtaga mos satx sirtiga shu nuqtada normal vektordan iborat bo‘lishi, ya’ni sirtga tik yo‘nalgan bo‘lishi isbotlangandir (8.6.2_b-rasm). Ikki o‘zgaouvchili funksiya uchun uning gradienti satx chizig‘iga tikdir (8.6.2_a-rasm).

8.6.2-rasm