Mamataliyev turdialining

Teorema. Agarda X₁, X₂, …, X_n – bog‘liqsiz va (θ, σ ²) parametrli normal qonun bo‘yicha taqsimlan statistik tanlanma bo‘lsa, u holda t – statistika erkinlik darajasi n-1 ga teng bo‘lgan Styudent taqsimotiga ega bo‘ladi.
Styudent taqsimotining zichlik funksiyasi quydagi ko‘rinishda bo‘ladi:

- gamma funksiya yuqoridagi formuladan ko‘rinib turibdiki, Styudent taqsimoti va statistikalarga bog‘liq bo‘lmay, faqat kuzatilmalar hajmi n ga bog‘liqdir.
Endi Styudent taqsimotining ishonchlilik oralig‘i qurishga tadbiqini ko‘raylik.
Normal qonun bo‘yich taqsimlangan X t.m.ning tajribalar natijasida qiymatlari topilgan bo‘lsin. Bular asosida va statistikalarni hisoblaymiz. T.m. noma’lum matematik kutilmasi θ – uchun ishonchlilik ehtimoli β (0<β<1) bo‘lgan ℮_β ishonchlilik oralig‘ini qurish masalasini qaraylik.
Quyidagi ehtimolni ko’raylik:
.
Bu tenglikning chap tomonida t.m.dan t – statistikaga o‘tamiz. Buning uchun tengsizlikning ikkala tomonini ga ko‘paytiramiz.U holda,

tenglik hosil bo‘ladi. (7.3.8) formuladan foydalansak,

munosabatga kelamiz.
Styudent taqsimoti zichlik funksiyasining juftligidan foydalanib quyidagini hosil qilamiz:


(7.3.9)

Endi (7.3.9) tenglikdan t_β ni topishiniz mumkin. Styudent taqsimoti qiymatlari jadvaldan foydalanib, ishonchlilik ehtimoli β va erkinlik darajasi n-1 ga mos t_β ni aniqlaymiz:

Bu esa ℮_β ishonchlilik oralig‘i uzunligining yarmiga teng
Demak,
℮_β= .

7.5 - misol. (θ, σ ²) parametrli normal qonun bo‘yicha taqsimlangan X t.m.ning 10 ta bog‘liqsiz tajribalar natijasida quyidagi qiymatlari topildi:

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Xi	2.5	2	-2.3	1.9	-2.1	2.4	2.3	-2.5	1.5	-1.7

matematik kutilma θ uchun ishonchlilik ehtimoli β = 0.95 bo‘lgan ℮_β – ishonchlilik oralig‘ini toping.

Tanlanmaning o‘rta qiymati va dispersiyasini topamiz:


, .

Jadvaldan erkinlik darajasi n-1=9 va ehtimollik β = 0.95 bo‘yicha Styudent taqsimotining (1-t_β) – kvantilini topamiz t_β=2.26. Demak,

va izlanayotgan ishonchlilik oralig‘i ℮_β= = (-1.18; 1.98) ko‘rinishda bo‘lar ekan.