M. Q. Bobojanov avtomatik boshqarish va rostlash nazariyasi asoslari

ku ier - k_}

Yopiq sistemaning differensial tenglamasi ham shunga o‘xshash to- piladi

:
(2.28)

\dM,

= kU_btr-k₃

_ _ d M, t— _ \ctM, ,

^Т<,^,Ту*-^-⁺\^Г_ч^+Ту°)-^-^+М,

36

Bu tenglamalardan sistemaning barqarorlashgan rejimi tenglamasini topish mumkin.

Agar quyidagilarni qabul qilsak:

dⁱco d²eo dm _n

■ = — = 0. . (2.29)

dt³ dt² dt d²M. dM

s
= 0.
__ s

(
dt² dt
2.30)

U holda quyidagilarga ega bo‘lamiz:

⁰³ - к her -k₃U_s - ochiq sistemaning statik xarakteristikasi;

(o = - ~~r- - yopiq sistemaning statik xarakteristikasi.

1+ky \+ky

Yuqoridagidan ko‘rinadiki, yopiq sistemadagi statik xato ochiq sistemadagiga qaraganda (1+ky) marta kichikdir.

3. 
   Laplas o‘zgartirishi
   

Laplas o‘zgartirishi yordamida nafaqat chiziqli difTerensial tenglamalarni yechish (operator metodi), balki chiziqli avtomatik boshqarish sistemalarini analiz qilish uchun matematik apparatni ham olish mumkin.

Laplas bo ‘yicha to 'g “ri о ‘zgartirish:

x(p) = 4*0)]=J x(t)-e~^p'dt 0

Teskari о ‘zgartirish:

x(t) = Г¹ [*(p)] = —Tx(p) ■ e^p,dp J ~ ~

• 
  O— rx>
  

bu yerda, x(t) — funksiya originali; x(p) — funksiyaning kompleks o‘zgaruvchilar (r = ₀ + jo) sohasidagi operator ko‘rinishi, оь = 0 boMgan holda (barcha barqaror ABS) Laplas o'zgartirishini Furye o‘zgartirishining xususiy holi deb qarash mumkin:

37
*0’®) J*(0‘^{e J} dt_ t₀‘g‘_ri yo'nalishda o‘zgartirilgan

о

garmonik tarkibni aniqlovchi chastota funksiyasi;

1 ⁴⁴⁰

x(ja) = ^ . Jx{jo))-e^J“”dco _ teskari o‘zgartirish.

J —ш

Laplas o‘zgartirishi xususiyatlarini aniqlovchi asosiy teoremalar:

1. 
   chiziqlilik teoremasi:
   

ax(t) aX(P)

xjt) +x₂(t)~X_x(P) +X₂(P) , bu yerda,"«-»" mutanosiblik belgisi;

2. 
   haqiqiy sonlar sohasida dijferensiallash:
   

L[x'{t)]= p-x{p)-x{0\

4e"(0] = p" ■ x(p)-[x(o)-pⁿ~^l + x'(0) pⁿ-²+ +xⁿ~¹(0)]

haqiqiy sonlar sohasida integrallash:
_ ! *~'(P)

P P

i

j x{t)-dt .o .

L

3. 
   o

   	Г 01
   x	-
   	—1 -ч <3

   
   
   
   ‘xshashlik teoremasi:
   

= a ■ x(ap);

4. 
   haqiqiy sonlar sohasida siljish:
   

x(t-a), x(t-a)=0 0L\x(t -a)] = X(p) ■ e x(t+a), x(t+a)=0 -aL[x(t+a)]=X{p)-e°^p\

3

8
bu yerda: a - manfiy boMmagan haqiqiy son.

5. 
   kompleks sonlar sohasida siljish:
   

zje^-<7''x(r)J = x(p + a);

bu yerda: a - haqiqiy qismi manfiy bo‘lmagan kompleks son.

6. 
   integral to ‘plam haqidagi teorema (ifodalar ко ‘paytmasi):
   

= X_t(p)-X₂(p)'

3. 
   Uzatish funksiyasi
   

Avtomatik boshqarish nazariyasida uzatish funksiyasi muhim ahamiyatga ega bo‘lgan parametrlardan hisoblanadi hamda kirish va chiqish signallarining o‘zaro nisbati ko'rinishida aniqlanadi. Uzatish funksiyasi sistema yoki zvenoning dinamik xossalarini xarakterlab beradi. Laplas nazariyasi bo‘yicha bo'yicha differensial tenglamalami o‘zgartirish uzatish funksiyasi ta’rifini juda qulay shaklga keltirish imkonini beradi, ya’ni uzatish funksiyasi deb operator ko‘rinishdagi chiqish kattaligining kirish kattaligiga boshlang'ich sharoitlardagi nisbatiga aytiladi. Uzatish funksiyasi quyidagi formulaga asosan topilishi mumkin [3, 4, 8 -10]:

(2.31)

Laplas o‘zgartirishining qoidalaridan foydalanib, yuqorida ko‘rib chiqilgan o‘zgarmas tok motori tezligini stabilizatsiya qilish sistemasi differensial tenglamasini operator formasida dastlabki boshlang’ich qiymatlami hisobga olgan holda quyidagicha yozish mumkin:

(a_}pⁱ+a₂p¹ + a_lp + a₀)-eo(p) = kU_itr(p)-(b₂p²+b_lp + b₀)M_c(p) (2.32)

bu yerda, ‘h=T_q-T_u-T_yo\ b^k.-T^T^; (h^T'-T.+T.-Tyj

b₁=(T_q+T_yo)-ka_x’=T_q +T_M\ b₀= k₃; a₀ =1 + ky.

39

Odatda, sistemaning uzatish funksiyasi ikkala ta’sirdan bittasi - berilgan ta’sir yoki toydiruvchi ta’sir ostida ko‘rib chiqiladi.

Shuning uchun umumiy holda tenglama quyidagicha yoziladi:

(a„jf +a_n ,p"¹ ■p^m +b_m__l ■p^{m 1} +...+£ь)-х(р) (2.33)

Ko‘p hadlami quyidagicha belgilab olamiz:

a„-p”+a„_,-p"'+...+ a₀ = D(p)

• 
  Ь_яр”₊Ь_я_₁.р”¹+...₊Ь₀ = К(р) ⁽²'³⁴⁾
  

U holda, ~^w(p) nisbat uzatish fiinksiyasini beradi.

D(p) X (p)

Yuqorida aytib o‘tilgani kabi, uzatish funktsiyasi Laplas ko'rinishidagi chiqish kattaligining kirish kattaligiga nisbatidan iborat boMib, bu holda sistema boshlang'ich nol qiymatlari hisobga olinadi.

Agar D(p)=0 va K(p)=0 hollariga mos ravishda uzatish funksiyasi­ning qutblari г* va nollari q; ma’lum bo‘lsa, u holda uzatish funksiyasi uchun quyidagi ifodaga ega bo‘lamiz:

_K(n-, *-П (/>"<&)

<²-³⁵)

^Щр) <Ш (Р-л)

Bu ifodaga nisbatan ratsional kasmi elementar kasrlarga ajratish qoidasi qo'llanilsa:

_w(p)=EPl₌ s , ^Kip,)_ _я _4_₊_41_₊...₊_А_ ₍2.3₆₎

^KP) Dip) _h/)(aXp-a) P-_Pl P-P₂ P-P,