M. M. Mirsaidov, P. J. Matkarimov, A. M. Godovannikov materiallar

Sterjenning bo‘ylama tebranishini tekshirish.

 

Cho‘zilish va 

siqilishga ishlaydigan sterjenning (16.1-rasm) xususiy tebranish 

chastotasi va formasini topishni ko‘radigan bo‘lsak, u holda variatsion 

tenglama (16.2) quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

 

-

0

=

−

u

A

A

δ

δ

σ

                                                          (16.30) 

yoki : 

( ) ( )

( )

∑

∑ ∫

∫

=

=

=

+

N

k

N

ê

ê

ê

ê

ê

ê

i

ê

j

ê

i

ê

j

x

x

x

x

dx

u

u

x

S

dx

u

u

E

1

1

2

0

δ

ρ

ω

δε

ε

   (16.31) 

          Bu yerda: 

ω

– sterjenning xususiy tebranish chastotasi.  

(16.31) ga (16.16), (16.17), (16.18), (16.19) ni olib borib qo‘ysak, 

u holda k-element uchun bikrlik matritsasi (16.26) va quyidagi 

ko‘rinishdagi massa matritsasi hosil bo‘ladi:  

---

 

397

[ ]

( )

{

}

( ) (

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

dx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

S

dx

x

x

x

x

x

S

m

m

m

m

m

k

i

x

k

j

x

k

i

x

k

j

x

k

k

k

k

к

⎥

⎦

⎤

+

+

+

+

⎢

⎣

⎡

+

+

+

+

=

=

+

+

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+

+

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

=

∫

∫

22

12

22

12

22

12

21

11

21

11

22

12

21

11

21

11

22

12

21

11

22

12

21

11

22

21

12

11

,

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

ρ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

ρ

 (16.32) 

Yuqorida keltirilgan algoritm yordamida sterjen uchun EHMda 

umumiy birlik matritsasi 

[ ]

К

 va massa matritsasi 

[ ]

М

  ni hosil qilib, 

xususiy chastota 

ω

 va forma 

{ }

u

 ni topish uchun quyidagi ko‘rinishdagi 

algebraik tenglamalar sistemasi hosil qilinadi: 

[ ]

[ ]

(

)

{ }

0

2

=

−

u

M

K

ω

                                      (16.33) 

Bu (16.33) tenglamadan sterjenning xususiy tebranish chastotalari 

N

ω

ω

ω

ω

,...

,

,

3

2

1

 va bu chastotalarga to‘g‘ri keladigan 

{ } {

} { } {

}

N

T

N

Т

u

u

u

u

u

u

u

u

,...

,

,

,...

,

2

1

2

2

1

=

=

… tebranish formalari EHMda 

standart dasturlar yordamida topiladi.  

       

Misol

: Po‘lat sterjenni (16.5-rasm) bo‘ylama tebranishining xususiy 

chastotalari topilsin. 

sm

300

=

l

: 

sm

r

10

1

=

: 

sm

r

15

2

=

: 

:

10

1

,

2

2

6

sm

kgk

E

⋅

=

 

:

95

,

7

3

m

tk

=

γ

 

g

γ

ρ

=

. 

 

 

16.5-rasm. Po‘lat sterjen bo‘ylama tebranishi xususiy chastotasini 

aniqlash. 

 

Bu sterjenning xususiy tebranish chastotalari 

,....

,

2

1

ω

ω

larni 

quyidagi formula, ya’ni aniq yechim yordamida topish mumkin: 

---

 

398

(

)

,

1

2

ρ

π

ω

E

к

к

l

−

=

    (k=1,2,3,....)                               (16.34) 

Xuddi shu xususiy tebranish chastotalarini yuqorida keltirilgan 

chekli elementlar usulining algoritmi yordamida (16.33) tenglamaga 

keltirilib, topilsa u 16.1-jadvalda keltirilgan qiymatlarga ega bo‘ladi. 

Aniq yechim (16.34) yordamida olingan natijalar ham 16.1-jadvalda 

keltirilgan. 

 

Aniq yechim va chekli elementlar usulida topilgan natijalar 

16.1-jadval 

Chastotalar 

Aniq yechim (16.34) 

yordamida topilgan 

(rad/sek) 

Chekli elementlar usuli 

yordamida topilgan (rad/sek)

1

ω

 

269.107 269.262 

2

ω

 

807.320 807.322 

3

ω

 

1345.534 1346.000 

4

ω

 

1883.147 1884.163 

5

ω

 

2421.961 2422.840 

 

Keltirilgan natijalardan (16.1-jadval) ko‘rinadiki, chekli elementlar 

usuli yordamida sterjenning bo‘ylama tebranish xususiy  chastotalarini 

juda katta aniqlik bilan topish mumkin ekan. 

 

5- §. Tekis kuchlanish va tekis deformatsiya holatida bo‘lgan 

jismlarning chekli elementlar usuli (CHEU) yordamida hisoblash

 

 

Chekli elementlar usuli variatsion uslub bo‘lgani uchun, ko‘pgina 

tekis kuchlanish va tekis deformatsiya holatida ishlaydigan konstruksiya 

elementlarini va har xil inshootlarni mustahkamligini bu usul yordamida 

baholash yaxshi natijalarni beradi. 

 Misol tariqasida tekis deformatsiya holatida ishlaydigan tuproqli 

to‘g‘onda har xil kuchlar ta’sirida hosil bo‘ladigan kuchlanish va 

deformatsiyalarni ko‘rib chiqamiz. 

Odatda to‘g‘onning uzunligi qolgan ikki o‘lchamiga nisbatan 

ancha katta bo‘ladi, shuning uchun unga tekis kuchlanish holatidagi 

elastik yaxlit jism sifatida qarasa bo‘ladi. Bu yechilayotgan masalani 

ancha soddalashtiradi. Buning uchun to‘g‘ondan yuzasi 

S

 va qalinligi 

---

 

399

bir bo‘lgan bo‘lak ajratib olinadi (16.6-rasm). Bu yerda, 

S

 yuzaning har 

bir nuqtasining gorizontal ko‘chishi 

u

 va vertikal ko‘chishi 

V

 hisobga 

olinadi. 

 

16.6-rasm. To‘g‘onning ko‘ndalang kesim yuzasi. 

 

To‘g‘onning har bir nuqtasini kuchlanish–deformatsiyalanishi 

holatini (KDH) aniqlash uchun quyidagi variatsion tenglamani yechish 

talab etiladi: 

 

[

]

[

]

[

]

∑ =

∫

+

+

∫

+

+

∫

+

−

∫

+

+

∑

0

v

v

v

v

2

d

d

P

u

P

s

d

f

ds

u

u

ds

P

y

x

S

y

S

S

y

y

xy

xy

х

х

δ

δ

δ

δ

ρ

δε

σ

δγ

τ

δε

σ

&&

&&

        (16.35) 

                            

0

v

,

0

:

,

,

=

=

∑

∈

u

u

y

x

                              (16.36) 

 

(16.35) tenglamadagi birinchi integral – ichki kuchlanishlarning virtual 

ishini, ikkinchi integral – inersiya kuchlarining ishini, uchinchisi-massa 

kuchlarining ishini, to‘rtinchisi esa – 

∑

P

maydonchaga qo‘yilgan tashqi 

kuchlar (gidrostatik, gidrodinamik va boshqalar) ishini ifoda etadi. 

Bu yerda, 

v

,

δ

δ

u

 – ko‘chishlar komponentlarining variatsiyalari; 

              

xy

y

x

γ

δε

δε

,

,

– deformatsiya komponentlarining variatsiyalari;  

              

y

f

– u o‘qi bo‘yicha ta’sir etuvchi massa kuchlari; 

              

y

x

P

P

,

 – 

∑

P

 maydonchaga x va u o‘qi yo‘nalishida ta’sir 

etuvchi tashqi kuchlar komponentlari; 

              

ρ

 – material zichligi. 

---

 

400

Deformatsiya komponentlari ko‘chishlar orqali Koshi 

formulasidan aniqlanadi: 

                

x

v

,

y

v

,

∂

∂

+

∂

∂

=

∂

∂

=

∂

∂

=

y

u

x

u

xy

y

x

γ

ε

ε

                 (16.37) 

Kuchlanish va deformatsiya komponentlari orasidagi bog‘lanish 

umumlashgan Guk qonunidan aniqlanadi: 

xy

xy

,

y

y

x

y

,

x

y

x

x

G

G

2

)

(

G

2

)

(

γ

τ

ε

ε

ε

λ

σ

ε

ε

ε

λ

σ

=

+

+

=

+

+

=

  

                              (16.38) 

Bu yerda, 

y

x

σ

σ

,

 – normal, 

xy

τ

– urinma kuchlanishlar. 

G

,

λ

 – Lyame koeffitsientlari bo‘lib, quyidagi formulalardan 

aniqlanadi: 

                                      

(

)(

)

(

)

μ

μ

μ

μ

λ

+

=

+

−

⋅

=

1

2

,

1

2

1

E

G

E

 

μ

,

E

 – materialning elastiklik moduli va Puasson koeffitsienti. 

Keyin variatsion masala (16.35)-(16.38) chekli elementlar usulida 

yechiladi, buning uchun 

S

 yuza uchburchak shaklli chekli elementlarga 

bo‘lib chiqiladi (16.7-rasm), ya’ni diskretizatsiya qilinadi. 

 

           

 

16.7-rasm. To‘g‘on ko‘ndalang kesimini uchburchakli elementlarga 

bo‘lish. 

 

n-element ichidagi ko‘chishlar (16.8-rasm) tugundagi ko‘chishlar 

va element koordinatalari orqali chiziqli approksimatsiya yordamida 

aniqlanadi. 

Qo‘yilgan yuklarga qarab, variatsion tenglama (16.35) quyidagi 

masalalarga keltiriladi: 

---

 

401

a) faqat statik kuchlar qo‘yilsa, quyidagi ko‘rinishga ega bo‘lgan 

algebraik tenglamalar sistemasini yechishga: 

                 

[ ]

{ } { }

f

u

K

=

                                                 (16.39)  

 

 

16.8-rasm.  n – elementdagi ko‘chishlar. 

 

b) xususiy tebranishlarda – quyidagi ko‘rinishdagi algebraik 

tenglamalarning xususiy tebranishlar masalasini yechishga: 

                          

[ ]

[ ]

(

)

{ }

0

2

=

−

u

M

K

ω

                                       (16.40) 

d) dinamik (seysmik) ta’sirlar natijasida majburiy tebranishlarni 

tadqiq etishda – boshlang‘ich shartlari 

( )

( )

o

o

u

u

u

u

&

&

=

=

0

,

0

 bo‘lgan, oddiy 

differensial tenglamalar sistemasini yechishga: 

                             

[ ]

{ }

[ ]

( )

{ }

( )

{ }

( )

( )

o

o

u

u

u

u

t

P

t

u

K

u

M

&

&

&&

=

=

=

−

0

,

0

                             (16.41) 

(16.39)–(16.41) tenglamalarda quyidagi belgilashlar qabul 

qilingan: [K],[M] – to‘g‘on bikrligi va massasi matritsalari, 

ω

 – 

izlanayotgan xususiy chastota, 

{ }

u

 – tugun ko‘chishlari izlanayotgan 

komponentlarining vektori. 

Bu barcha masalalar maxsus dasturlar yordamida EHM da 

yechiladi. Yechim natijasida tugunlardagi ko‘chishlar 

k

j

i

j

k

i

u

u

u

v

,

v

,

v

,

,

,

, keyin har bir chekli element ichidagi ko‘chishlar 

u,v deformatsiyalar 

xy

y

x

γ

ε

ε

,

,

 va kuchlanishlar 

xy

y

x

τ

σ

σ

,

,

 aniqlanadi. 

Hisob natijasida to‘g‘onning har bir nuqtasidagi kuchlanish-

deformatsiyalanish holati haqida to‘la tasavvur hosil bo‘ladi, ya’ni 

S

 

soha bo‘yicha (16.6-rasm). 

---

 

402

To‘g‘onning cho‘kishi yoki deformatsiyasiga baho berishda 

(16.39) yoki (16.41) tenglamalarning yechimlari kifoya qiladi va 

deformatsiya (16.37) formuladan aniqlanadi. 

Zarurat tug‘ilganda to‘g‘onning istalgan nuqtasidagi maksimal 

urinma kuchlanishni quyidagi formuladan topsa bo‘ladi: 

              

(

)

2

2

max

4

2

1

xy

y

x

τ

σ

σ

τ

+

−

±

=

                         (16.42 ) 

Bosh kuchlanishlar quyidagi formuladan topiladi: 

                       

(

)

2

2

min

max

2

,

1

4

2

1

2

xy

y

x

y

x

τ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

+

−

±

+

=

=

   (16.43) 

Bu natijalar to‘g‘onning zilzilabardoshligiga yoki tegishli 

mustahkamlik nazariyalaridan foydalanib, nishabliklar ustuvorligiga 

umumiy baho berish imkoniyatini beradi. 

CHEU dan foydalanib, to‘g‘on hisobini tekis yoki fazoviy 

hisoblash sxemalari bo‘yicha bajarish mumkin. Eksperimental 

tadqiqotlarning ko‘rsatishicha, agar to‘g‘onning uzunligi uning 

balandligidan 4 yoki undan ko‘p marta ortiq bo‘lsa, hisobni tekis sxema 

bo‘yicha bajarsa bo‘lar ekan. 

CHEU ni qo‘llash to‘g‘on materialining bir jinsli emasligini 

hisobga olish imkonini beradi, ya’ni bir elementdan boshqa elementga 

o‘tganda fizik-mexanik parametrlarning o‘zgarishini hisobga olish 

imkoniyatini yaratadi, bu ayniqsa hamma vaqt uch sohadan iborat 

bo‘lgan gruntli to‘g‘onlarda yanada ahamiyatliroqdir. 

Toshkent irrigatsiya va melioratsiya instituti (TIMI) «Nazariy va 

qurilish mexanikasi» kafedrasi xodimlari tomonidan gruntli inshootlarni 

hisoblashning kompleks uslubi yaratilgan va to‘g‘onlarni EHMda 

hisoblashga doir turli dasturlar ishlangan va bular uchun O‘zbekiston 

Respublikasi Patent idorasining qator mualliflik guvohnomalari olingan. 

Bu dasturlardan foydalanib Respublikamizda va Markaziy Osiyoda bir 

qancha to‘g‘onlar hisoblangan. 

Misol tariqasida, 16.9- va 16.10-rasmlarda So‘x to‘g‘oni 

inshootining real geometriyasi va birjinssiz materiali hisobga olingan 

holda, to‘g‘onning xususiy og‘irligi ta’sirida hosil bo‘lgan cho‘kish 

hisoblari natijalari (ko‘chishlarning tarqalish maydoni) hamda bosh 

kuchlanishlar tarqalish maydoni: 

1

σ

(16.10a-rasm), 

2

σ

 (16.10b-rasm) va 

maksimal urinma kuchlanishlar 

max

τ

 (16.10d-rasm) berilgan. 

Shu erning o‘zida taqqoslash uchun tarkibiga ko‘ra bir jinsli 

bo‘lgan to‘g‘onning o‘sha parametrlari keltirilgan. 

---

 

403

 

16.9-rasm. So‘x to‘g‘onining o‘z og‘irligi ta’sirida cho‘kishi  keltirilgan, 

punktir chiziq bilan to‘g‘on grunti bir jinsli bo‘lgan hol uchun, uzluksiz 

chiziq orqali esa grunt bir jinsli bo‘lmagan hol uchun.  

 

 

 

16.10-rasm. Kuchlanishlarni to‘g‘on yuzasi bo‘yicha taqsimlanishi: 

a), b) bosh kuchlanishlar bo‘yicha   d) urinma kuchlanishlar bo‘yicha. 

  

 

16.9-rasmda punktir chiziq bilan to‘g‘on grunti bir jinsli bo‘lgan 

hol uchun o‘z og‘irligi ta’sirida cho‘kishi keltirilgan, uzluksiz chiziq 

orqali esa xuddi shu holat grunt bir jinsli bo‘lmagan hol uchun 

---

 

404

keltirilgan. Bu 16.9-rasmda ko‘rsatilgan hisob natijalari masshtab 

e’tiborga olinmasdan sxematik ravishda ko‘rsatilgan. 

 

16.10-rasmda esa kuchlanishlarni to‘g‘on yuzasi bo‘yicha 

taqsimlanish qonuniyati hisob natijalari bo‘yicha keltirilgan. Bu erda 

uzluksiz chiziq to‘g‘on grunti bir jinsli, punktir chiziq esa to‘g‘on grunti 

bir jinsli bo‘lmagan hollar uchun keltirilgan. Bu natijalarni bari 

to‘g‘onning o‘z og‘irligi ta’sirida hosil bo‘ladigan to‘g‘ondagi 

kuchlanish va deformatsiyalanish  jarayonni o‘zida aks ettiradi. 

  Olingan natijalar shuni ko‘rsatadiki, CHEU yordamida 

deformatsiyalanuvchi qattiq jismlarda hosil bo‘ladigan jarayonlarni juda 

katta aniqlik bilan olish mumkin ekan. 

 

---

 

405

 

 

 

ADABIYOTLAR 

 

1.

 

Ўрозбоев

 

М

.

Т

. 

Материаллар

 

қаршилиги

. – 

Т

.: «

Ўқитувчи

», 

1979. – 510 

б

. 

2.

 

Материаллар

 

қаршилиги

 / 

А

.

Ф

.

Смирнов

 

таҳрири

 

остида

.  – 

Т

.: 

«

Ўқитувчи

», 1988. – 464 

б

. 

3.

 

Мансуров

 

К

.

М

. 

Материаллар

 

қаршилиги

. – 

Т

.: «

Ўқитувчи

», 

1983. – 504 

б

. 

4.

 

Беляев

 

Н

.

М

. 

ва

 

б

. 

Материаллар

 

қаршилигидан

 

масалалар

 

тўплами

. – 

Т

.: «

Ўзбекистон

», 1993.  

5.

 

Хамраев

 

П

.

Х

., 

Рахманов

 

Б

.

Қ

. 

Эластиклик

 

ва

 

пластиклик

 

назариясининг

 

қисқа

 

курси

. – 

Т

.: 

ТАҚИ

, 2005. – 103 

б

. 

6.

 

Дарков

 

А

.

В

., 

Шпиро

 

Г

.

С

. 

Сопротивление

 

материалов

. – 

М

.: 

«

Высшая

 

школа

», 1989. – 624 

с

. 

7.

 

Феодосев

 

В

.

М

. 

Сопротивление

 

материалов

. – 

М

.: «

Высшая

 

школа

», 1979. 

8.

 

Биргер

 

И

.

А

., 

Мавлютов

 

Р

.

Р

. 

Сопротивление

 

материалов

. – 

М

.: 

«

Наука

», 1986. – 560 

с

. 

9.

 

Терегулов

 

И

.

С

. 

Сопротивление

 

материалов

 

и

 

основы

 

теории

 

упругости

 

и

 

пластичности

. – 

М

.: «

Высшая

 

школа

», 1984.         

– 472 

с

. 

10.

 

Самуль

 

В

.

И

. 

Основы

 

теории

 

упругости

 

и

 

пластичности

. – 

М

.: 

«

Высшая

 

школа

», 1982. – 288 

с

. 

11.

 

Рекач

 

В

.

Г

. 

Руководство

 

к

 

решению

 

задач

 

прикладной

 

теории

 

упругости

. – 

М

.: 1984. 

12.

 

Мирсаидов

 

М

.

М

.,

Трояновский

 

И

.

Е

. 

Динамика

 

неоднородных

 

систем

 

с

 

учетом

 

внутренней

 

диссипации

 

и

 

волнового

 

уноса

 

энергии

. – 

Т

.: «

Фан

», 1990. – 108 

с

. 

13.

 

Мирсаидов

 

М

.

М

., 

Годованников

 

А

.

М

. 

Сейсмостойкость

 

сооружений

: 

Учебное

 

пособие

 

для

 

студентов

 

высших

 

учебных

 

заведений

. – 

Т

.: «

Узбекистан

», 2008. – 220 

с

. 

14.

 

Мирсаидов

 

М

.

М

. 

Теория

 

и

 

методы

 

расчета

 

грунтовых

 

сооружений

 

на

 

прочность

 

и

 

сейсмостойкость

. – 

Т

.: «

Фан

», 

2010. – 312 

с

. 

15.

 

Зенкевич

 

О

. 

Метод

 

конечных

 

элементов

 

в

 

технике

. – 

М

.: 

«

Мир

», 1975. – 542 

с

. 

---

 

406