M. M. Mirsaidov, P. J. Matkarimov, A. M. Godovannikov materiallar

2- §. Chiziqli algebraning ba’zi bir tushunchalari 

 

Chekli elementlar usuli bilan ishlaganda, matritsa ko‘rinishida 

beriladigan munosabatlar bilan ko‘p ishlashga to‘g‘ri keladi. Shuning 

uchun bu usulni tushunishni osonlashtirish maqsadida matritsalar bilan 

bajariladigan ba’zi bir amallarni eslatib o‘tishni lozim topdik.  

Matritsa deganda tartiblashtirilgan sonlar to‘plami tushuniladi. 

Umumiy holda matritsa m ta sonlar qatori va n esa sonlar ustunidan 

iborat bo‘lib, (m

×

n) ta sonlarni birlashtiruvchi to‘plamdir. Matritsalar 

odatda quyidagicha belgilanishi mumkin: 

A, [A], A

ij

,    

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

4

2

1

...

........

..........

....

.....

24

22

21

14

12

11

m

m

m

a

a

а

а

а

а

а

а

а

 

mn

а

а

а

.....

,

12

11

 – lar matritsani  elementlari bo‘lib, (m

×

n) matritsani 

tartibini bildiradi. 

Agar 

[ ]

А

 matritsa bitta qatordan (ya’ni  m =1) yoki bitta ustundan 

(ya’ni n =1) bo‘lsa bunday matritsalar vektor deyilib, u quyidagicha 

belgilanadi 

{ }

А

. 

Misol

: a) 

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

3

2

– tartibi (m×n) = (2×1) bo‘lgan (vektor) matritsa, 

b) 

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

4

2

3

2

,

5

2

1

 – tartibi (m×n) = (2×3) bo‘lgan matritsa, 

d) 

{

}

1

,

0

,

1

,

3

 – tartibi (m×n) = (1×4) bo‘lgan (vektor) matritsa. 

Matritsani ixtiyoriy elementi 

ij

а

  deb  belgilanadi,  misol  uchun        

b) matritsada 

2

12

=

a

, 

,

3

21

−

=

a

 

4

23

=

a

 va  hokazolar.  

---

 

385

  Agarda  m=n  bo‘lsa,  kvadrat  matritsa hosil bo‘ladi. Matritsani 

qatori bilan ustunini o‘zaro almashtirish yo‘li bilan hosil qilingan 

matritsa transponirlangan matritsa deyilib, u

[ ]

Т

А

 deb belgilaniladi.  

Agarda 

[ ] [ ]

Т

А

А

=

 bo‘lsa, bu matritsada m=n bo‘lib, 

ji

ij

а

а

=

 

bo‘ladi. 

 

ji

ij

а

а

=

 bo‘lgan matritsalar simmetrik matritsalar deyiladi. 

 Agarda matritsani faqat dioganal elementlar, ya’ni 

0

≠

ii

а

 bo‘lib, 

qolgan elementlari 

(

)

j

i

a

ij

≠

=

0

 bo‘lsa, bunday matritsa dioganal 

matritsa deyiladi. 

 Dioganal matritsada 

1

=

ii

а

 bo‘lsa, bunday matritsa birlik matritsa 

[ ]

I

 deyiladi.  

Agar simmetrik matritsani har bir qatorida bir xil sondagi, ya’ni      

p=n–k elementlari 

0

≠

ij

а

 

(

)

)

1

(

,

−

+

=

i

p

i

j

, qolganlari 

(

)

n

i

p

j

а

ij

,

0

+

=

=

 bo‘lsa, bunday simmetrik matritsa lentali matritsa 

deyiladi.  

Quyidagicha belgilanadigan matritsa 

{ }

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

n

a

a

а

а

2

1

 vektor-ustun 

deyilib, uni transponirlangani 

{ } {

}

n

T

a

a

a

a

,....

,

2

1

=

 vektor-qator 

deyiladi. 

Matritsalar ustidagi amallar va ularni xususiyatlari quyidagilardan 

iboratdir:  

1. Ikkita 

[ ]

А

 va 

[ ]

В

 matritsalar bir biriga teng bo‘lishi uchun 

ularning qatorlari va ustunlari bir xil bo‘lib, barcha 

m

i

,

1

=

 va 

n

j

,

1

=

 

larga tegishli elementlari, ya’ni 

ij

ij

b

a

=

 bo‘lishi kerak.  

2. Ikkita 

[ ]

А

 va   

[ ]

В

 matritsani qator va ustunlarining soni bir xilda 

bo‘lganda ularni qo‘shish mumkin bo‘lib, 

[ ] [ ] [ ]

В

А

С

+

=

 bo‘ladi va 

[ ]

С

 ni 

elementlari quyidagicha topiladi 

ij

ij

ij

b

a

с

+

=

 (barcha 

n

j

m

i

,

1

,

,

1

=

=

 

lar uchun). 

3. Matritsa, skalyar songa ko‘paytirilganda uning barcha 

elementlari shu songa ko‘paytiriladi, ya’ni: 

[ ]

[ ]

A

C

α

=

 yoki 

ij

ij

a

c

α

=

 

(barcha 

n

j

m

i

,

1

,

,

1

=

=

 lar uchun). 

---

 

386

4. Agarda 

[ ]

А

 ni tartibi (mxp) va 

[ ]

В

 ni tartibi (pxn) bo‘lsa, bu 

ikkita matritsani ko‘paytirib 

[ ] [ ] [ ]

Â

À

Ñ

⋅

=

 ni hosil qilish mumkin. Bu holda 

[ ]

С

 ni elementlari quyidagicha aniqlanadi: 

∑

=

⋅

=

p

r

ri

ir

ij

b

a

с

1

. Hosil bo‘lgan 

matritsa 

[ ]

С

 ni tartibi 

(

) (

) (

)

n

m

n

p

p

m

×

=

×

×

×

 bo‘ladi. 

5. Matritsalar ko‘paytirilganda kommutativlik xususiyat 

bajarilmaydi ya’ni: 

[ ] [ ] [ ] [ ]

A

B

B

A

⋅

≠

⋅

                         

6. Vektorlar ko‘paytirilganda tartibi 

(

)

n

m

×

 yoki 

( )

1

1

×

 bo‘lgan 

matritsa hosil bo‘ladi.  

{ }

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

2

1

A

     

   

{ } { }

4

,

3

=

T

B

 

{ }{ }

⎢

⎣

⎡

=

6

3

T

B

A

 

⎥

⎦

⎤

8

4

      

{ } { }

[ ]

11

=

A

B

T

 

Matritsalar ko‘paytirilganda quyidagi xususiyatlar o‘rinli bo‘ladi:  

7. 

[ ] [ ] [ ]

(

)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

C

B

C

A

C

B

A

D

⋅

+

⋅

=

+

=

 

8. 

[ ] [ ] [ ]

(

)

[ ] [ ] [ ] [ ]

(

)

[ ] [ ] [ ]

C

B

A

C

B

A

C

B

A

G

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

 

9. 

[ ] [ ]

(

)

[ ] [ ]

T

T

T

A

B

Â

À

=

⋅

 

10. Matritsani determinanti (aniqlovchisi) quyidagicha belgilanadi: 

( )

А

Δ

,    

( )

ij

А

Δ

 yoki 

22

21

12

11

а

а

а

а

 

Tartibi (n

×

n) bilan 

[ ]

А

   matritsaning determinantini 

(aniqlovchisini) quyidagicha topish mumkin: 

( )

( )

( )

∑

=

+

Δ

−

=

Δ

n

j

ij

ij

j

i

A

a

А

1

1

. 

Bu yerda 

[ ]

A

j

i

,

,

 matritsaning ixtiyoriy qatori va ustunini nomeri 

ij

A

esa 

[ ]

A

 matritsadan 

i

-qator va 

j

-ustunni o‘chirilib hosil qilingan 

tartibi 

(

) (

)

(

)

1

1

−

×

−

n

n

 bo‘lgan matritsadir. 

Misol: 

[ ]

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

2

1

0

1

3

1

0

1

2

А

 matritsani determinanti topilsin: 

( ) ( )

1

3

2

1

1

1

⋅

−

=

Δ

+

А

   

( )

0

1

1

1

2

1

2

1

⋅

⋅

−

+

+

  

( )

0

1

0

1

2

1

3

1

⋅

⋅

−

+

+

  

1

3

 = 

(

)

8

1

0

1

2

1

1

1

6

2

1

=

⋅

⋅

+

⋅

⋅

−

−

⋅

⋅

=

 

---

 

387

11. 

[ ]

А

 matritsaning teskari matritsasi 

[ ]

1

−

А

 deb belgilanib, 

[ ] [ ] [ ]

I

А

А

=

⋅

−

1

 bo‘ladi. 

Misol: 

[ ]

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

 ning teskari matritsasini 

[ ]

1

−

А

 topilsin.  

Teskari matritsani elementlari 

1

−

ij

а

 ni topish uchun 

[ ]

А

 matritsani 

har bir elementi turgan qator va ustun navbatma-navbat o’chirilib, 

teskari matritsani elementlari quyidagicha topiladi  

( )

( )

A

a

a

a

a

а

Δ

−

=

+

−

33

32

23

22

1

1

1

11

1

,    

( )

( )

A

a

a

a

a

а

Δ

−

=

+

−

33

31

23

21

2

1

1

12

1

, 

( )

( )

A

a

a

a

a

а

Δ

−

=

+

−

32

31

22

21

3

1

1

13

1

,     

( )

( )

A

a

a

a

a

а

Δ

−

=

+

−

33

32

13

12

1

2

1

21

1

, 

( )

( )

A

a

a

a

a

а

Δ

−

=

+

−

33

31

13

11

2

2

1

22

1

,    

( )

( )

A

a

a

a

a

а

Δ

−

=

+

−

32

31

12

11

3

2

1

23

1

, 

( )

( )

A

a

a

a

a

а

Δ

−

=

+

−

23

22

13

12

1

3

1

31

1

,   

( )

( )

A

a

a

a

a

а

Δ

−

=

+

−

33

31

13

11

2

3

1

32

1

, 

( )

( )

A

a

a

a

a

а

Δ

−

=

+

−

22

21

12

11

3

3

1

33

1

 

Bu yerda 

( )

[ ]

А

А

,

Δ

 matritsani determinanti;

22

21

12

11

33

32

23

22

,......

а

а

а

а

а

а

а

а

 lar 

[ ]

А

 

matritsadan tegishli qator va ustun o‘chirilgandan keyin hosil bo‘lgan  

tartibi 

(

)

2

2

×

 bo‘lgan matritsani determinantlari.  

             Determinantni  va  teskari matritsani topish (agar matritsani 

tartibi 

(

)

3

3

×

 dan katta bo‘lsa) ancha murakkab masala bo‘ladi. Bu 

hollarda teskari matritsani standart dasturlar yordamida EHM da 

topiladi. 

12. Chiziqli tenglamalar sistemasi:  

---

 

388

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

а

а

а

......

..........

..........

......

.......

2

1

2

22

21

2

12

11

  

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

n

n

b

b

b

x

x

x

M

M

2

1

2

1

 

yoki 

[ ]

{ } { }

b

x

A

=

 ni yechimi quyidagicha topiladi:  

{ }

[ ]

{ }

b

A

x

1

−

=

 

13. Quyidagi ko‘rinishdagi 

[ ] [ ]

(

){ }

0

=

−

x

B

A

λ

 algebraik tenglamalar 

sistemasini xususiy qiymati 

λ

 va xususiy vektori 

{ }

x

, EHM larda 

maxsus algoritmlar asosida tuzilgan dasturlar yordamida topiladi.