Logarifm va uning xossalari Reja

Logarifm va uning xossalari
Reja:

1. 
   Logarifm va uning xossalari
   
2. 
   Logarifmlash va potensirlash qoidalari
   

a^x =N (a>0, a≠0) tenglamani qaraymiz. Bu tenglama N ≤ 0 bo‘lganda yechimga ega emas va N > 0 bo‘lganda esa bittagina yachimga ega. Bu yechim N sonining a asos bo‘yicha logarifmi deyiladi va log_aN ko‘rinishida yoziladi.

Ta‘rif: Berilgan sonning berilgan asosga ko‘ra logarifmi deb berilgan sonni hosil qilish uchun asosni ko‘tarish kerak bo‘lgan daraja ko‘rsatkichiga aytiladi.

Agar a^x = b bo‘lsa, ta‘rifga ko‘ra x = log_ab. Bunda a- logarifmning asosi, b- logarifmlanayotgan son, a>0, a≠0 deb olinadi. b>0 bo‘lishi ko‘rinadi.

_{ } ayniyat hosil bo‘ladi. Buni asosiy logarifmik ayniyat deyiladi: _{ }
Misollar: _{ }; _{ 
 
 
 } yoki
_{ 
 }; _{   } logarifmik ayniyat yordamida x = log₅ 48 soni
5^x = 48 tenglamaning ildizi bo‘lishini ko‘rish mumkin.
Logarifmning ta‘rifidan uning quyidagi xossalari kelib chiqadi:

1. 
   Asos 1 dan farqli har qanday musbat son bo‘lganda: log _a1=0
   
2. 
   Asosning shu asosga ko‘ra logarifmi 1 ga teng: log _a a=1
   
3. 
   Log_ay₁ = log_a y₂ tenglikdan y₁ = y₂ ekanligi kelib chiqadi
   

Algebraik ifodaga kirgan sonlarni ularning logarifmlari orqali ifodalashni shu orqali ifodalashni shu ifodani logarifmlash deyiladi. Logarifmlashga teskari amalni potensirlash deyiladi.

1. 
   log _a(A∙ B)= log_a A+ log_a B
   
2. 
   log_a(A:B) = log_a A – log_a B
   
3. 
   log_a b^m = m∙ log_a b
   
4. 
   _{ }
   
5. 
   _{ }
   

Misol. Log₃₂ 64 ni hisoblang
Log₃₂64 = x bo‘lsin deylik. Logarifmning ta‘rifiga ko‘ra: 32^x = 64
32 = 2⁵, 64 = 2⁶ bo‘lgani uchun 2^5x = 2⁶, bundan 5x = 6 , _{ }
Berilgan ifodani logarifmlash deganda ifodaning logarifmini uning tarkibiga kirgan komponentlarining logarifmlari orqali ifodalash tushuniladi. Logarifmlashda teskari masala potensirlash deyiladi. Logarifmik ifodalarni potensirlash degani berilgan sonlarning logarifmi orasidagi bog‘lanish bo‘yicha berilgan sonlar orasidagi bog‘lanishni topish demakdir, ya‘ni logarifmi berilgan logarifmik ifodaga teng bo‘lgan ifodani topishdan iborat.
Misol. 1. x = 3a³b ifodani 2 asosga ko‘ra logarifmlang:
log₂ x = log₂ (3a³b) = log₂ 3 +log₂ a³ +log₂ b = log₂3 +3 log₂ a +log₂ b
2. _{ } ifodani 3 asosga ko‘ra logarifmlang:


_{ }
3. Agar l = 100sm, g =981,5sm /s va π =3,142 bo‘lsa, Tvaqtni T=π _{ } formula bo‘yicha toping.

Berilgan ifodani a-10 asosga ko‘ra logarifmlaymiz:

_{ }

Log₁₀T= 0,0011. Ta‘rifga asosan T= 1,002 s.

4. _{ 
 }; _{ }

5. _{ }

Tayanch iboralar
Logarifm, ifoda asos, ayniyat, logarifmlash, potensirlash, almashtirish, darajaga ko‘tarish
Nazorat savollari

1. 
   Sonning logarifmi deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Logarifmning asosiy xossalarini sanab o‘ting
   
3. 
   lagarifmlash va potensirlash qoidalari
   

Test savollari

1. a=log₅₀ 40 bo’lsa , log₅2 ni a orqali ifodalang .

A) _{ } B) _{ } C) _{ } D) _{ }
2. Agar _{     } bo‘lsa a,b va c sonlar uchun quyidagi munosabatlarning qaysi biri o‘rinli?
A) a < b < c B) c < b < a C) a < b < c D) b < a < c
E) b < c < a

3. Hisoblang log ₅ ln e⁵

A) 5 B) 5e C) 50 D) 10
E) 1
4. Hisoblang log₂ lg100
A) 1
B) 4
C) 3
D) 2
E) 10