Limitga EGA bo‘lgan funksiyalarning xossalari 13-ma’ruza Reja

3-xossa. ([2], p. 90, Th. 4.2) Agar



bo‘lib, bo‘lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda



bo‘ladi.

◄ Shartga ko‘ra

.

Funksiyaning limiti ta’rifiga ko‘ra uchun shunday son topiladiki, , , uchun



bo‘ladi. Bu esa da bo‘lishini bildiradi. ►

Faraz qilaylik, va funksiyalar to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.

4-xossa. ([2], p. 92, Corollary 4.4) Agar

,

bo‘lib, da tengsizlik bajarilsa, u holda , ya’ni



bo‘ladi.

◄ Aytaylik,

,

bo‘lsin.

Funksiya limitining Geyne ta’rifiga ko‘ra ga intiluvchi ixtiyoriy



ketma-ketlik uchun

da ,

(1)

bo‘ladi.

Ravshanki, da

(2)

Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalaridan foydalanib, (1) va (2) munosabatlardan , ya’ni bo‘lishini topamiz. ►

5-xossa. ([1], p. 223, Prop. 9.3.14) Faraz qilaylik,

,

limitlar mavjud bo‘lsin. U holda

a) da ;

b)

v)

g) Agar bo‘lsa, ;

bo‘ladi.

Bu tasdiqlarning isboti sonlar ketma-ketliklari ustida arifmetik amallar bajarilishi haqidagi ma’lumotlardan kelib chiqadi.

1-misol. Ushbu

limit hisoblansin.

◄ Bu limitni yuqoridagi xossalardan foydalanib hisoblaymiz:





.►

2-misol. Ushbu

limit hisoblansin.

◄ Ma’lumki, . Shuni hisobga olib topamiz:



. ►

2. Monoton funksiya limiti. ([2], p. 85, Item 3.3.4)

Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, bo‘lsin . Ravshanki, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘ladi.

1-teorema. Agar funksiya to‘plamda o‘suvchi bo‘lib, u yuqoridan chegaralangan bo‘lsa, funksiya nuqtada



limitga ega bo‘ladi.

◄  funksiya qiymatlaridan iborat bo‘lgan ushbu

to‘plamni qaraymiz. Teoremaning shartiga ko‘ra bu to‘plam yuqoridan chegaralangan bo‘ladi. U holda to‘plamning aniq chegarasining mavjudligi haqidagi teoremaga ko‘ra tuplam aniq yuqori chegaraga ega. Uni bilan belgilaymiz:

.

Endi, bo‘lishini isbotlaymiz. Aniq yuqori chegara ta’rifiga ko‘ra:

1) uchun ;

2) bo‘ladi.

Agar deyilsa, unda uchun



bo‘lib,



tengsizlik bajariladi. Bu esa



ekanini bildiradi. ►

Xuddi shunga o‘xshash quyida keltiriladigan teorema isbotlanadi.

Aytaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, bo‘lsin . Ravshanki, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘ladi.

2-teorema. Agar funksiya to‘plamda kamayuvchi bo‘lib, u quyidan chegaralangan bo‘lsa, funksiya nuqtada



limitga ega bo‘ladi.

3. Koshi kriteriysi.

Endi funksiya limitining mavjudligi haqidagi umumiy teoremani keltiramiz.

Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.

1-ta’rif. Agar olinganda ham shunday son topilsaki,

lar uchun

(3)

tengsizlik bajarilsa, uchun nuqtada Koshi sharti bajariladi deyiladi.

3-misol. Ushbu funksiya uchun nuqtada Koshi sharti bajariladi.

◄ Haqiqatan ham, songa ko‘ra deyilsa, u holda

lar uchun (ya’ni uchun)

bo‘ladi.

3-teorema (Koshi).  funksiya nuqtada chekli limitga ega bo‘lishi uchun bu funksiya nuqtada Koshi shartining bajarishi zarur va etarli.

◄ Zarurligi. funksiya nuqtada chekli limitga ega bo‘lsin:

.

Limit ta’rifiga binoan:

uchun

(4)

bo‘ladi. Shuningdek, yX  (U_ (x_o) \ {x_o}) uchun ham

(5)

bo‘ladi. (4) va (5) munosabatlardan

bo‘lishi kelib chiqadi.

Yetarliligi. Aytaylik funksiya uchun (3) shart bajarilsin. nuqtaga intiluvchi ikkita

ketma-ketliklarni olamiz. Bu ketma-ketliklardan foydalanib, ushbu

ketma-ketlikni hosil qilamiz. Uni bilan belgilaymiz. Ravshanki, ketma-ketlik uchun

bo‘ladi. Teorema shartiga binoan soniga ko‘ra sonni olamiz. Modomiki, da ekan, unda limit ta’rifiga ko‘ra:

bo‘ladi. Unda uchun

tengsizlik bajapiladi. Byndan ketma-ketlikning fyndamental ekanligi kelib chiqadi. Demak ketma-ketlik yaqinlashyvchi:

da .

Unda

,

bo‘lib, fynksiya limitining Geyne ta’pifiga binoan bo‘ladi. ►

Mashqlar

1. Ushby

limit bilan aniqlanadigan fynksiya topilsin.

2. Ushby

limit xisoblansin.

Adabiyotlar

1. 
   Tao T. Analysis 1. Hindustan Book Agency, India, 2014.
   
2. 
   Canuto C., Tabacco A. Mathematical analysis I. Springer-Verlag, Italia, 2008.
   
3. 
   Xudayberganov G., Vorisov A. K., Mansurov X. T., Shoimqulov B. A. Matematik analizdan ma’ruzalar, I q. T. “Voris-nashriyot”, 2010.
   
4. 
   Fixtengol’ts G. M. Kurs differentsial’nogo i integral’nogo ischisleniya, 1 t. M. «FIZMATLIT», 2001.