Лекция векторы и их линейные комбинации. Скальярные и векторные произведения векторов. План лекции: Векторы на плоскости и их линейные комбинации

Определение. Если угол между двух векторов равна , то такие векторы называются ортогональными.
Определение. Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов .
То есть, для векторов  на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид


а для векторов   в трехмерном пространстве скалярное
произведение в координатах находится как



Таким образом, мы имеем третье определение скалярного произведения.

Основные свойства скалярного произведения.
Для любых векторов справедливы следующие свойства скалярного произведения:

1. 
   свойство коммутативности скалярного произведения  ;
   
2. 
   свойство дистрибутивности 
   

или   ;

3. 
   сочетательное свойство или  , где  - произвольное действительное число;
   
4. 
   скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен , причем тогда и только тогда, когда вектор  нулевой.
   

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.
Пример. Найти длину вектора и обоснуйте геометрически.
Решение. По формуле


Рис.10.

Если векторы задани покоординарно, то из формулы скалярного произведения легко можна найти угол между двух векторов;

(1) , когда и .
(2) , когда и .
Направляющие косинусы вектора   – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат. Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора. Чтобы найти направляющие косинусы вектора  необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора.