Лекция Система линейной алгебраической уравнений. Формула Крамера. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Метод Крамера. Метод Гаусса. Метод обратных матриц

Пример 1. Решить систему

Решение. Вычислим все определители.

Так как Δ=-8≠0, то данная система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера (4.7):

т.е. (2, 0, -1) - искомое решение системы.
Пример 2. Решить систему

Решение. Вычислим определители

т.е. система решений не имеет (случай 2)
Пример 3. Решить систему

Решение. Нетрудно убедиться в том, что Δ=0 и Δ_x=Δ_y=Δ_z=0. Данная система не имеет решений, так как первое и третье уравнения противоречивы. Если умножить первое уравнение на 3 и вычесть из полученного уравнение третье, то придем к ложному равенству 0 = 3.
Пример 4. Решить систему

Решение. Нетрудно убедиться в том, Δ=0 и Δ_x=Δ_y=Δ_z=0. Так как второе уравнение получается из первого умножением на 2, то данная система равносильна системе двух уравнений относительно трех неизвестных

Так как

то можно найти решение последней системы

в которой переменная z является свободной, и, следовательно, исходная система имеет бесконечное множество решений, которое можно найти либо по формулам Крамера, либо методом исключений. В результате получим (-5z/11; (7z+11)/11; z), где z может принимать произвольные значения.
Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Если в системе (4.2) свободные члены равны нулю, то есть b1 = b2 = b3 = 0, то систему

( 4.8)

называют однородной. Тогда систему (4.8), в которой хотя бы один из свободных членов не равен нулю, называютнеоднородной. Очевидно, что для однородной системы (4.8) Δ_x=0; Δ_y==0; Δ_z=0 и равенства (4.4) и (4.6) примут вид:

( 4.9)

Если Δ≠0, то из (4.9) следует, что система (4.8) имеет единственное решение х = 0; y = 0; z = 0. Отсюда следуетвывод, что чтобы однородная система (4.8) имела непрерывное решение, необходимо, чтобы Δ=0. Действительно, если в тройке (х, y, z), например, x≠0, то из равенства Δx=0 следует, что Δ=0.
Справедливо и обратное утверждение, т.е. если Δ=0, то система (4.8) обязательно имеет ненулевое решение (причем бесчисленное множество).
Пусть в системе (4.8) первые два уравнения независимы, а третье является линейной комбинацией первых двух. Тогда система (4.8) равносильна следующей системе двух уравнений с тремя неизвестными

( 4.10)

Пусть для (10)

тогда систему (8) можно записать в виде

и решить по правилу Крамера, что дает

Полагая

получим решение системы (10) в виде:

( 4.11)