Лекция Система линейной алгебраической уравнений. Формула Крамера. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Метод Крамера. Метод Гаусса. Метод обратных матриц

Пример 6. Решить систему

Решение. Вычисления удобно записывать по так называемой схеме единственного деления, в которой оперируют скоэффициентами системы.

X1	X2	X3	B	Σ
1	2	1	9	13
1	1	2	8	12
2	1	1	7	11
1	2	1	9	13
0	-1	1	-1	-1
0	-3	-1	11	15
1	2	1	9	13
0	-1	1	-1	-1
0	0	-4	-8	-12

В результате получаем треугольную систему:

Делая обратный ход, найдем х₃ = 2; х₂ = 3; х₁ = 1, т.е. решение (1, 3, 2).
Замечание. Последний столбец является контрольным. В нем суммируются элементы соответствующих строк.
Матричный метод решения систем линейных уравнений
Рассмотрим для определенности систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

( 4.14)

Составив матрицы из коэффициентов системы, неизвестных и свободных членов, т.е.

перепишем систему (14) в матричной форме:

AX=B

( 4.15)

Искомой в этом уравнении является матрица-столбец (или вектор-столбец) Х. Пусть А – невырожденная матрица, то есть , и, следовательно, она имеет обратную матрицу А_-1. Умножив обе части (4.15) на А_-1 слева, получаем:
A_-1(AX)=A_-1B=>(A_-1A)X=A_-1B=>EX=A_-1B, т.е.

( 4.16)

и есть искомое решение системы (4.14). Действительно, подставив (4.16) в (4.14), получим:
A(A_-1B)=(A_-1A)B=EB=B.
Пример 7. Решить систему матричным методом:

Решение. Запишем систему в матричной форме:

и убедимся, что данная система совместно и имеет единственное решение. Для этого найдем главный определитель системы (детерминант матрицы A ).

Так как детерминант матрицы A отличен от нуля, следовательно обратная матрица существует и указанный метод применим к решению системы.
Для составления присоединенной матрицы А^* найдем алгебраические дополнения

Составляем присоединенную матрицу А^*:

следовательно, обратная матрица будет

Тогда

Т.е. х = -2; у = 1; z = 3.
Системы линейных уравнений.
Основные понятия.
Система видa

называется системой  - линейных уравнений с  неизвестными.
Числа  ,  ,  называются коэффициентами системы.
Числа  ,  называются свободными членами системы,  – переменными системы. Матрица

называется основной матрицей системы, а матрица

– расширенной матрицей системы. Матрицы - столбцы
и  - соответственно матрицами свободных членов и неизвестных системы. Тогда в матричной форме систему уравнений можно записать в виде  . Решением системы называется  значений переменных  , при подстановке которых, все уравнения системы обращаются в верные числовые равенства. Всякое решение системы можно представить в виде матрицы - столбца  . Тогда справедливо матричное равенство  .
Система уравнений называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной если не имеет ни одного решения.
Решить систему линейных уравнений это значит выяснить совместна ли она и в случае совместности найти её общее решение.
Система называется однородной если все её свободные члены равны нулю. Однородная система всегда совместна, так как имеет решение
.
Теорема Кронекера – Копелли.
Ответ на вопрос существования решений линейных систем и их единственности позволяет получить следующий результат, который можно сформулировать в виде следующих утверждений относительно системы  линейных уравнений с  неизвестными
(1)
Теорема 2. Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной ( .
Теорема 3. Если ранг основной матрицы совместной системы линейных уравнений равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Теорема 4. Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.
Правила решения систем.

1. 
   Находят ранги основной и расширенной матрицы и если  то система не совместна.
   
2. 
   Если  , то система совместна, в этом случае находят какой-нибудь базисный минор  - того порядка и берут соответствующие ему  - уравнений системы, отбрасывая остальные. Те переменные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называются главными, остальные  переменных называют свободными. Выражения со свободными переменными переносят в правую часть.
   

3. Находят выражение главных переменных через свободные и получают общее решение системы.
4. Придавая свободным переменным произвольные значения получают все значения главных переменных.
Методы решения систем линейных уравнений.