Лекция №2 определитель -го порядка. Определители второго и третьего порядков план

3.1. Свойства определителей
Транспонированием определителя называется такое преобразование, при котором его строки делаются столбцами с тем же самым номером. Транспонирование есть поворот определителя около главной диагонали.


Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании, т.е.
.


Доказательство этого свойства основывается на следующих рассуждениях. Всякий член определителя имеет вид , где перестановка вторых индексов. Знак члена определителя зависит от четности инверсий в перестановке вторых индексов. В транспонированном определителе члены состоят из тех же множителей, что и в исходном определителе, хотя они имеют иное расположение индексов, но четность инверсий в перестановке вторых индексов одинакова. Отсюда и вытекает свойства определителя не изменяться при транспонировании.
Следовательно, сроки и столбцы в определителе равноправны, и если выполняется некоторое свойство относительно строк, то такое же свойство существует и для столбцов. В дальнейшем такие два свойства будем формулировать одновременно.
Пример.



Свойство 2. Если хотя бы одна из строк (столбцов) определителя состоит только из нулей, то определитель равен нулю.
Доказательство. Каждый член определителя содержит множитель из этой строки, все элементы которой равны нулю. Следовательно, все члены определителя и он сам равны нулю.


Свойство 3. Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то определитель изменит знак.
Доказательство. В результате этой операции изменится четность инверсий в перестановке вторых индексов. Все члены получать обратные знаки, следовательно, и определитель изменить свой знак на обратный.
Пример. Убедиться в справедливости свойства 3 для определителя

и определителя получаемого из него перестановкой 1-й и 3-й строк.
Решение. Пользуясь правилом треугольников, получим

Найдем теперь определитель, полученный из данного перестановкой 1-й и 3-й строк:

Выполнение свойства 3 очевидно.