Лекция №2 определитель -го порядка. Определители второго и третьего порядков план

Определение. Всякое расположение чисел называется их перестановкой.
Количество возможных перестановок равно . При возможны лишь две перестановки - либо 1,2, либо 2,1. В данном случае число перестановок равно . При , число возможных перестановок будет равно 6 (1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 3, 1; 2, 1, 3; 3, 2, 1; 3, 1, 2), т. е.
Определенное утверждение можно сделать при любом значении .
Если это утверждение справедливо для числа элементов , то оно спра­ведливо и для числа элементов .
Предположим, что наше утверждение уже доказано для , т.е. элементов дают перестановок. Рассмотрим все перестановки из элементов . Тогда перестановок, у которых на первом месте стоит элемент будет (по предположению) перестановок, у которых на первом месте стоит элемент , тоже будет . Поступая аналогично со всеми элементами, получим, что число перестановок будет
Рассмотрим произвольную перестановку чисел

Выберем в ней два числа и . Если окажется, что большее из этих чисел расположено впереди (левее) меньшего, то числа и образуют ин­версию (беспорядок).
Определение. Инверсией (беспорядком) в перестановке называют такое по­ложение, при котором большее число стоит впереди (левее) меньшего. В про­тивном случае числа инверсии (беспорядка) не образуют.
Рассмотрим перестановку четырех первых чисел натурального ряда 3, 2, 1, 4. Здесь беспорядок образуют следующие пары чисел: 3 и 2, 3 и 1, 2 и 1. Значит, в данной перестановке число всех инверсий (беспорядков) три. В пе­рестановке 2, 4, 3, 1 имеется четыре инверсии.
Для подсчета числа беспорядков воспользуемся следующим приемом. Оп­ределим количество чисел, стоящих впереди 1. Пусть их будет . Вычеркнем единицу и определим количество чисел, стоящих впереди 2. Пусть их будет . Вычеркнем двойку и определим количество чисел, стоящих впереди 3 и т. д.