Лекция-18. Дәрежели қатарлар. Жыйнақлылық радиусы ҳәм жыйнақлылық областы. Тейлор ҳәм Маклорен қатары

2. Функцияларды дәрежели қатарға жайыў

1. f(x)=e^x функцияны маклорен қатарына жайамыз. e^x Функция барлық

x(-;) лер ушын қәлеген тәртипли туўындыларға ийе. Усы туўындылардың x=0 точкадағы мәнислерин есаплаймыз.
f(x)=e^x , f(0)=1
f^’(x)=e^x , f^’(0)=1
f^’’(x)=e^x , f^’’(0)=1
. . . . . . . . . . .
fⁿ(x)=e^x , fⁿ(0)=1
fⁿ⁺¹(x)=e^x , fⁿ⁺¹()=e^ , бунда 0<Туўындылардың табылған мәнислерин (94) маклорен формуласына қойып, e^x тың жайылмасын пайда етемиз.
(95)

2. f(x)=sinx функциясын маклорен қатарына жайыў.

Функция барлық x(-;) лер ушын қәлеген тәртипли туўындыларға ийе. Усы туўындылардың x=0 точкадағы мәнислерин есаплаймыз.

f(x)=sinx, f(0)=0

Тәртиби жуп болған туўындылардың ҳәммеси x=0 де нольге тең. Табылған мәнислерди Маклорен формуласына қойып, sinx ушын төмендеги жайылманы аламыз.

(96)
3. f(x)=cosx функцияны маклорен қатарына жайыў.
Функция барлық x(-;) лар ушын қәлеген тәртипли туўындыларға ийе. Усы туўындылардың x=0 точкадағы мәнислерин есаплаймыз.
f(x)=cosx, f(0)=q
f^’(x)=-sinx=cos(x+ ), f^’(0)=0
f^’’(x)=- sin(x+ )=cos(x+ ), f^’’(0)=-1
. . . . . . . . . . . . . . .
f⁽ⁿ⁾(x)=cos(x+ ), f⁽ⁿ⁾(x)=cos( )
f⁽ⁿ⁺¹⁾()=cos(+(n+1) ), R_n(x)= ,
Бунда тақ тәртипли туўындылардың ҳәммеси х=0 де нольге тең f(x)=cos x функция ушын Маклорен формуласы төмендеги көринисте болады.
cosx=1- (97)
4. f(x)=ln(1+x) Логарифмлик функцияны Маклорен қатарына жайыў функция х>-1 лер ушын қәлеген тәртипли туўындыларға ийе. f(x) функцияның х=0 точкадағы туўындыларын есаплаймыз.
f(x)=ln(1+x), f(x)=0

Туўындылардың табылған мәнислерин маклорен формуласына қоямыз.

Қысқартыўдан соң
(98)
5. f(x)=(1+x)^ дәрежели функцияны маклорен қатарына жайыў.
f(x)=(1+x)^ функцияның x=0 точкадағы туўындыларын есаплаймыз.
f(x)=(1+x)^, f(0)=1
f^’(x)=(1+x)^-1, f^’(0)=
f^’’(x)=(  -1)(1+x)^-2, f^’’(0)=( -1)
. . . . . . . . . . . .
fⁿ(x)=(  -1) (  -2)... (  -n+1) (1+x)^-n, fⁿ(0)=( -1)... (  -n+1)
fⁿ⁺¹(x)=(  -1) (  -2)... (  -n) (q+)^-1-n

Туўындылардың табылған мәнислерин (94) формулаға қоямыз.
(99)


қатарды пайда етемиз. Бул қатар биномиал қатар деп аталады. Ол интервалда абсолют жыйнақлы болады.