Лекция-18. Дәрежели қатарлар. Жыйнақлылық радиусы ҳәм жыйнақлылық областы. Тейлор ҳәм Маклорен қатары

Дәрежели қатарлар төмендеги қәсийетлерге ийе:
1) Дәрежели қатардың қосындысы оның жыйнақлылық интервалында үзиликсиз функция болып табылады.
2) Дәрежели қатарды оның жыйнақлылық интервалындағы қәлеген кесиндиде ағзалап интеграллаў мүмкин;
3) Дәрежели қатарды оның жыйнақлылық интервалының қәлеген ишки ноқатында ағзалап дифференциаллаў мүмкин.


1. Тейлор ҳәм Маклорен қатарлары.
y=f(x) функциясы точкасының дөгерегинде (n+1) тәртипли туўындыға ийе болсын. Дәрежеси n нен үлкен болмаған, точкадағы мәниси f(x) функциясының усы точкасындағы мәнисине тең болған, n-ши тәртипке шекемги болған туўындыларының точкадағы мәнислери f(x) функциядан усы точкада алынған сәйкес туўындыларының мәнислерине тең болған у=P_n(x) көпағзалыны яғный
P_n(x)=f(a), P_n^’(x)=f^’(a), P_n^’’(x)=f^’’(a)... P_n⁽ⁿ⁾(x)=f⁽ⁿ⁾(a) (87)
шәртин қанатландырыўшы көпағзалыны табыў керек.
Бул көп ағзалыны төмендегише көринисте излеймиз.
P_n(x)=C₀+C₁(x-a)+C₂(x-a)²+...+C_n(x-a)ⁿ (88)
C₀,C₁,C₂ ,...C_n коэфицентлерин (87) шәрти орынланатуғын етип анықлаймыз. P_n(x) тың туўындыларын табайық.
P_n^’(x)=C₁+2C₂(x-a)+...+nC_n(x-a)^n-1
P_n^’’(x)=2C₂+3*2C₃(x-a)+...+n(n-q)C_n(x-a)^n-2
P_n⁽ⁿ⁾(x)=n(n-1)(n-2)...321C_n (89)
(88), (89) теңликлерге мәнисин қоямыз, нәтийжеде
P_n(a)=C₀, P_n^’(a)=C₁, P_n^’’(a)=21C₂,
P_n⁽ⁿ⁾(a)=n(n-1)(n-2)...321C_n (90)
(90) теңликлердиң шеп тәреплерин (87) теңликлер тийкарында алмастырамыз, нәтийжеде
f(a)=C₀, f^’(a)=C₁, f^’’(a)=21C₂, ...
fⁿ(a)=n(n-1)(n-2)...321C_n
Буннан коэфицентлердиң мәнислерин табамыз
C₀=f(a), C₁=f^’(a),
Бул C₀,C₁,C₂ ,...C_n мәнислерин (88) формулаға қоямыз ҳәм изленип атырған көпағзалыға ийе боламыз.
(91)
Бул көпағзалы f(x) функцияның (x-a) ның дәрежелери бойынша Тейлор көпағзалысы деп аталады. Берилген f(x) функция менен дүзилген P_n(x) көпағзалы айырмасын R_n(x) пенен белгилейик.
R_n(x)= f(x)-P_n(x). (92)
Буннан f(x)= P_n(x)+ R_n(x) ямаса
(93)
(93) формула f(x) функция ушын Тейлор қатары деп аталады. R_n(x) Тейлор формуласының қалдық ағзасы деп аталады. Тейлор формуласының деги дара жағдайы Маклорен формуласы ямаса Маклорен қатары деп аталады.
(94)
Бунда